Binômio de newton

Binômio de Newton | | | | |

No estudo da Análise Combinatória), aprendemos o conceito de Fatorial de um número. Assim, por exemplo, sabemos que o fatorial de 6 é o produto 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1, ou seja 720. De forma genérica, portanto, n! = n.(n-1).(n-2). ... até 1.
Em decorrência, temos que: n! = n.(n-1)! e assim, sucessivamente.
Com esta definição em mente vamos aprender um conceito importante, o de Coeficiente Binomial
Dados dois números naturais n e p, sendo n >= p, chamamos de coeficiente binomial de n sobre p, e indicamos por (np), da seguinte maneira:
(np) = n! / [p!.(n-p)!]
Observar conforme estudo da Análise Combinatória, que estamos tratando da mesma fórmula para o cálculo das combinações. Assim, temos que:
(np) = Cn,p
Assim, por exemplo, temos:

(107) = C10,7 = 10! / [7! 3!] = 120
(73)= C7,3 = 7! / [3!4!] = 35

Casos particulares:

(n0)= n! / [0!n!] = n! / [1 n!] = 1
(n1)= n! / [1!(n-1)!] = n(n-1)! / (n-1)! = n
(nn)= n! / [n! 0!] = 1

Então, por exemplo, temos que:

(30)= 1
(51)= 5
(66)= 1
É importante termos em mente esta definição de coeficientes binomiais para estudarmos o desenvolvimento do Binômio de Newton. Antes, vamos verificar alguns pontos importantes para podermos aplicar no estudo do Binômio de Newton. Assim, temos;

a)binômios complementares
Dizemos que dois coeficientes binomiais de mesmo numerador são complementares quando a soma de seus denominadores é igual ao numerador, ou seja:
(np) e (nq)são complementares se p+q=n
Exemplos:
(73) e (74);
(85) e (83) ....

Propriedade; Dois coeficientes complementares são iguais.

Então:
(np) = (nq)
Se p=q ou n=p+q onde n>=p e n>=q
b)triângulo de Pascal
Os coeficientes binomiais podem ser dispostos em uma tabela chamada "triângulo de Pascal", da seguinte maneira:
(00)
(10)(11)
(20)(21)(22)
...................
(n0)(n1)(n2)..........(nn)
Nesta tabela, verifica-se que:

1)os coeficientes binomiais equidistantes dos extremos são