baricentro

Baricentro
Sadao Massago
Junho de 2011

Baricentro e divisão de área
Momento de massa é o produto da distância com a massa (representa o peso relativo a distância).
Baricentro é o centro de (momento da) massa e quando um objeto é pendurado pelo baricentro, ele cará no horizontal. Na gura 1,

d1 ∗ m1 = d2 ∗ m2 d1 mantém o sistema horizontal.

d2

m1

m2

Figura 1: Momentos iguais
Toda gura plana limitada e mensurável tem o baricentro e pode ser obtido pela propriedade de que a reta divide a região em dois momentos de massas iguais se, e somente se, passa no baricentro. Quando a gura é simétrica em relação ao ponto (gura obtida pela rotação de com a gura original) como no caso do polígono regular de

2n

180◦

coincide

lados, círculos e paralelogramos,

qualquer reta que passa no baricentro (que é o centro da simetria) divide em duas áreas iguais, mas isto não acontece na gura em geral. Se a reta divide em duas regiões simétricas (gura é simétrica em relação a esta reta), então a reta divide em duas áreas iguais, além de passar no baricentro. No entanto, se a simetria em relação ao ponto não é garantida, nem toda reta que passa no baricentro divide em duas áreas iguais (muito das retas que não divide simetricamente).
São os casos dos polígonos regulares de

2n + 1

lados na qual a mediatriz dos lados dividem em

duas áreas iguais (pois divide simetricamente), mas outras retas passando pelo baricentro (que é centro do polígono) não divide em áreas iguais. Em geral, nem sempre existe o centro da área, apesar de sempre existir o centro (do momento) de massa.
Logo, encontrar baricentro ou a reta que divide em momentos iguais não é equivalente (mesmo) a dividir em áreas iguais.
No caso do triângulo, o encontro das medianas é o baricentro, mas é fácil mostrar que a reta paralela a um dos lados passando pelo baricentro não divide em áreas iguais. Na gura 2, Se QR
2
for paralelo a BC passando pelo