APOSTILA DE C LCULO II

APOSTILA DE CÁLCULO II

1) Integral Definida.
Seja f(x) uma função e g(x) uma de suas primitivas. Portanto, ∫f(x)dx=g(x)+c. Definimos a integral definida de f(x) entre os limites a e b como a diferença g(b)-g(a), e indicamos simbolicamente: Exemplo:
a) Vamos calcular a integral definida

b) Calculemos a integral definida .

Exercícios.
1) Calcule as seguintes integrais definidas:

2) Calcule a área delimitada pelos gráficos das funções nos seguintes casos:
a) f(x) = x e g(x) = x³ (com x>0);
b) f(x) = 3x e g(x) = x²;
c) f(x) = x² e g(x) = ;
d) f(x) = x e g(x) = x²;
e) f(x) = x²-1 e g(x) = 1 – x²;
f) f(x) = x² + 1 e g(x) = 3 – x²;
g) f(x) = 2x e g(x) = x²;
h) f(x) = x² e g(x) = -x²+4x;
i) f(x) = x²-4x, o eixo x e as retas x = 1 e x = 3;
j) f(x) = x³-2x²-5x+6, o eixo x e as retas x = -1 e x = 2.

Obs.: Caso f(x) seja negativa no intervalo [a, b], a área A da região delimitada pelo gráfico de f(x), eixo x, e pelas verticais que passam por a e por b é dada por:

1.1 – Técnicas de integração.
- Integração por partes.
Sabemos que se U(x) e V(x) são funções deriváveis, então pela regra da derivada do produto: [U(x).V(x)]’=U’(x).V(x)+U(x).V’(x); e, consequentemente, U(x).V’(x)=[U(x).V(x)]’-U’(x).V(x).
Integrando ambos os membros, obtemos: ∫U(x).V’(x)dx=U(x).V(x)-∫U’(x).V(x)dx, que é chamada fórmula da integração por partes.

Exemplo: Vamos encontrar a integral:

Exercícios:

-Integração por substituição. Essa técnica consiste em substituir a variável da função a ser integrada de modo a obtermos uma integral imediata, ou que seja mais simples de calcular. A ideia baseia-se na seguinte relação

Exemplo.

Calcule as seguintes integrais pelo método da substituição:

3) Funções de duas variáveis.
3.1. Introdução.
Em muitas situações que ocorrem, quer no plano teórico quer na prática, há necessidade de considerar diversas variáveis. É muito importante, nesses casos, tentar descrever quantitativamente a