Aplicação de Derivadas

Titulo:
Produção de latas de alumínio
Introdução:
Com o objetivo de se produzir o Maximo de latas com o mínimo de material possível utilizou os conceitos de Maximo e mínimo de derivadas para construirmos uma lata de volume pré-determinado de 350 ml, com o mínimo de material possível, podendo assim construir mais latas com esse material.
Material e métodos:
Os métodos utilizados foram os conceitos de máximos e mínimos aplicados em derivada, para se alcançar os resultados, e o material utilizado nas latas pode ser o alumínio ou o aço, no caso consideramos o alumínio. Lembrando que a produção de latas de alumínio não se considera a tampa superior, que é colocada pela fabrica que adquire e utiliza a mesma, logo para fins de calculo utilizaremos a lata sem tampa, para fins de curiosidade para considerar a tampa superior basta dobrar a área da tampa inferior.
Abaixo segue os cálculos para obtenção do raio da base e a altura da latinha. Devemos minimizar a área. A área do cilindro e da tampa inferior é: e , onde r e h são respectivamente o raio e a altura do cilindro; logo devemos minimizar: Mas o volume é 350 ml ou 350cm3; logo: e ••; substituindo h na expressão a minimizar, temos:

Derivando a equação da área temos:

Igualando a zero e encontrando as raízes:

; raízes que são candidatos a pontos de Maximo e mínimo.
Derivando novamente a formula da área temos:

Substituindo os pontos críticos na equação temos:

Logo a raiz ; é ponto de mínimo, portanto o raio vale: cm. cm = 4,81cm.
Calculando a altura temos: =4,81cm.
Calculando a área total temos:

A=218,21 cm2
Resultados:
Os resultados obtidos com a utilização da ferramenta de mínimo e Maximo em derivadas foram que para construção de um cilindro de 350cm3 é necessário um raio de 4,81cm e altura de 4,81cm, para se utilizar o mínimo material possível.

Fazendo uma comparação com as latinhas de