APLICAÇÃO DAS DERIVADAS

Aplicação das Derivadas

Propriedades Geométricas dos Gráficos e Funções
Padilha

Aplicação das Derivadas
Propriedades Geométricas dos Gráficos e Funções.
FUNÇÕES CRESCENTES E DECRESCENTES
PONTO CRÍTICO
Definição: “Diz-se que é definida em ”

é um ponto crítico de ( ) se

( )

ou se

( ) não

Roteiro de Teste para Funções Crescentes e Decrescentes
1. Derive ( )
2. Encontre todos os pontos críticos.
“Diz-se que é um ponto crítico de ( ) se ( ) 0 ou se ( ) não é definida em ”.
3. Teste o sinal de ( ) em um ponto arbitrário pertencente a cada intervalo de teste. 4. Use o teste para determinar se ( ) é crescente ou decrescente.
Exemplo 1. Teste para determinar se a função é crescente ou decrescente.
Mostre que ( ) é decrescente em ( ) e crescente em (0, ).
Solução:
1. Derive ( )
( )
2. Ponto crítico: ( ) em 3. Para negativo ( )
, logo a função é decrescente
4. Para positivo, ( ) portanto a função é crescente.
Vejamos o gráfico da função:

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Exemplo 2. Determinando os intervalos nos quais uma função é crescente e decrescente. Determine os intervalos abertos nos quais ( )

é crescente

ou decrescente.
Solução:
Vamos seguir o Roteiro.
1. Calculamos a primeira derivada de ( ), a saber: ( )
2. Calculamos os números críticos, fazendo a 1ª derivada nula
(
)
Assim:
Assim: os números críticos são:
3. Assim os intervalos são: (), (0, 1) e ( 1, ).

( )

Vejamos a tabela:

Intervalo
Valor de Teste
Sinal de ( )
Conclusão

-

0

1
⁄

(-1)
Crescente

( )
Decrescente

(2)
Crescente

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4. Gráfico

CONCAVIDADE
Teste da Concavidade e o Teste da Segunda Derivada.
1.
2.

( )
( )

, no intervalo considerado I
, no intervalo considerado I

Roteiro para o Teste da Concavidade
1. Determine os valores para os quais ( ) ou ( )