Aplicação de derivadas

APLICAÇÕES DA DERIVADA
I- Taxa de Variação Foi visto em Física que, quando um corpo se move em linha reta de acordo com a equação do movimento s  s(t ) e sua velocidade é dada por v  s ' (t ) . Sabemos que a velocidade representa a razão da variação do deslocamento por unidade de tempo. Assim a derivada s ' (t ) é a taxa de variação da função s(t ) por unidade de variação de t. O mesmo ocorre com a aceleração que é dada por a(t )  v ' (t ) . Ela representa a razão de variação da velocidade v(t ) por unidade de variação do tempo t. Toda derivada pode ser interpretada como uma taxa de variação. Dada uma função y  f (x) , quando a variável independente varia de x a x  x , a correspondente variação de y será y  f ( x  x)  f ( x) . O quociente

y f ( x  x)  f ( x)  x x f ' ( x)  lim

representa a taxa média de variação de y em relação a x.

f ( x  x)  f ( x) x x 0 de variação de y em relação a x.

A derivada

é a taxa instantânea de variação ou simplesmente taxa

A interpretação da derivada como uma razão de variação tem aplicações práticas nas mais diversas ciências. Vejamos alguns exemplos. Exemplos 1- Sabemos que a área de um quadrado é função do seu lado. Determinar: a) a taxa de variação média da área de um quadrado em relação ao lado quando este varia de 2,5 a 3 m. b) a taxa de variação da área em relação ao lado quando este mede 4 m. Solução: Sejam A a área do quadrado e l seu lado. Sabemos que A  l 2 . a) A taxa média de variação de A em relação a l quando l varia de 2,5 m a 3 m é dada por: A A(3)  A(2,5) 9  6,25 2,75     5,5 l 3  2,5 0,5 0,5 b) A taxa de variação da área em relação ao lado é dado por: dA d 2  (l )  2.l dl dl Quando l = 4, temos: dA dA  2.4  8 ou 8 dl dl ( 4) Portanto, quando l = 4 m, a taxa de variação da área do quadrado será de 8 m2 por variação de 1 metro no comprimento do lado. 2- Uma cidade X é atingida por uma moléstia epidêmica. Os setores de saúde calculam que o número de pessoas