Aplicação Derivadas

Aplicações da Derivação
Prof. Ronaldo Portela

Aplicações de Derivação
• Máximos e Mínimos de uma função;
Problemas de Otimização;
– Exemplo: Qual é a forma de uma lata que minimiza o custo de manufatura?
– Exemplo: Qual é a aceleração máxima de um ônibus espacial? – Esses problemas podem ser reduzidos a encontrar os valores máximo ou mínimo de uma função.

• Cálculo de Limites pela regra de L’Hopital.
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Máximo e Mínimo Absoluto
• Uma função ƒ tem máximo absoluto (ou máximo global) em c se f (c) ≥ f (x) para todo x em D, onde D é o domínio de ƒ.
• O número ƒ(c) é chamado valor máximo de ƒ em D.
• Analogamente, ƒ tem um mínimo absoluto em c se f(c) ≤ f(x) para todo x em D, e o número ƒ(c) é denominado valor mínimo de ƒ em D.
• Os valores máximo e mínimo de ƒ são chamados valores extremos de ƒ.
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Máximo e Mínimo Relativo
• Uma função f tem um máximo local (ou máximo relativo) em c se f(c) ≥ f(x) quando x estiver nas proximidades de c.
– Isso significa que f(c) ≥ f(x) para todo x em algum intervalo aberto contendo c.
– Analogamente, f tem um mínimo local em c se f(c) ≤ f(x) quando x estiver próximo de c.

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Máximo e Mínimo
• Qual a diferença entre:
- Máximo global e máximo relativo?
- Mínimo global e mínimo relativo?

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Máximo e Mínimo

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Máximo e Mínimo

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Máximo e Mínimo

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Máximo e Mínimo

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Teorema de Fermat
• Se f tiver um máximo ou mínimo local em c e se f’ (c) existir, então f’ (c) = 0. (a recíproca não é verdade).

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Teorema de Fermat
• Definição: Um número crítico de uma função f é um número c no domínio de f onde f ’(c) = 0 ou f ’(c) não existe. • Exemplo: Encontre os números críticos de f (x) = x3/5(4 - x).

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Método do Intervalo Fechado
•

Para encontrar os valores máximo e mínimo absolutos de uma função contínua f em um intervalo fechado [a, b]:
1. Encontre os valores de f nos números críticos de f em
(a, b).
2. Encontre os valores de f nas