Algébra de Boole

5. ÁLGEBRA DE BOOLE

Os teoremas e propriedades fundamentais que estudaremos a seguir nos servirão na simplificação de expressões que contenham variáveis redundantes e com isso os circuitos digitais que elas representam serão simplificados de forma significativa.

5.1. Postulados para uma variável (X)
Todos os postulados da algebra booleana derivam das tabelas das funções lógicas E e
OU, como pode ser visto a seguir.
Tome-se a tabela da função E e OU.
B
0
0
1
1

A
0
1
0
1

S=A.B
0
0
0
1

B
0
0
1
1

A
0
1
0
1

S=A+B
0
1
1
1

Nas duas linhas sombreadas temos que 0.0 = 0 e 0.1 = 0, assim podemos dizer que
0.X =0 (zero e qualquer valor, 0 ou 1, será sempre igual a zero ).

0

.

X

= 0

1

+ X = 1

1

.

X

= X

0

+ X = X

X

.

X

= X

X + X = X

X

.

X

= 0

X = X

X + X

= 1

Muito embora os postulados anteriores sejam denominados postulados para uma única variável, se levarmos em conta que toda e qualquer expressão lógica quando resolvida se resumirá a um determinado nível lógico, podemos aplicar os postulados para algumas expressões. Vejamos o exemplo a seguir:
1

__ é ù
A.ê( A + B.C ) + A.B.C .D ú ë û

Vamos levar em conta que a expressão entre parênteses na solução para determinados valores das variáveis, no final será reduzida a um valor 0 ou 1. Certo?
Assim a resolução da expressão será

A.[0] = 0
Que é a aplicação do postulado X . 0 = 0.

5.2. Outras propriedades
As propriedades seguintes se aplicam quando temos mais de uma variável em jogo.

5.2.1. Propriedade Comutativa

A + B = B + A
A .

B = B .

A

5.2.2. Propriedade Associativa

A + (B + C) = (A + B) + C
A .

(B . C) = (A . B)

. C

5.2.3. Propriedade Distributiva

2

A . (B + C) =

A.B

+ A.C

A + (B . C) = A + B . A+C

5.3. Teorema da Absorção
Demonstra-se a seguir o teorema da Absorção em suas três formas.

A + A.B= A

A.(A+B) = A

A.(1+B) =