Algebra de Boole

O termo "álgebra booliana" é uma homenagem a George Boole, um matemático inglês autodidata. Boole introduziu o sistema algébrico, inicialmente, em um pequeno panfleto, o The Mathematical Analysis of Logic, publicado em 1847, em resposta a uma controvérsia em curso entre Augustus De Morgan e William Hamilton, e mais tarde como um livro mais substancial, The Laws of Thought, publicado em 1854. A formulação de Boole difere das descritas acima em alguns aspectos importantes. Por exemplo, a conjunção e a disjunção em Boole não era um duplo par de operações. A álgebra booliana surgiu na década de 1860, em artigos escritos por William Jevons e Charles Sanders Peirce.3 A primeira apresentação sistemática de álgebra booliana e reticulados distributivos é devido ao 1890 Vorlesungen de Ernst Schröder . O primeiro tratamento extensivo de álgebra booliana em inglês foi um 1898 na Universal Algebra de Whitehead.
Uma álgebra booliana é uma 6-upla (X, \vee, \wedge, \neg, 0, 1) consistindo de um conjunto X munido de duas operações binárias \vee (também denotado por +, é geralmente chamado de "ou") e \wedge (também denotado por \ast ou por \cdot, é geralmente chamado de "e"), uma operação unária \neg (também denotada por \sim ou por uma barra superior, é geralmente chamado de "não"), e duas constantes 0 (também denotada por \bot ou por F, geralmente chamado de "zero" ou de "falso") e 1 (também denotada por \top ou por V, geralmente chamado de "um" ou de "verdadeiro"), e satisfazendo os seguintes axiomas, para quaisquer a, b, c \in X:

Propriedades Associativas (a \vee b) \vee c = a \vee (b \vee c) (a \wedge b) \wedge c = a \wedge (b \wedge c)
Propriedades Comutativas a \vee b = b \vee a a \wedge b = b \wedge a
Propriedades Absortivas a \wedge(a \vee b )= a a \vee (a \wedge b )= a
Propriedades Distributivas a \vee (b \wedge c) = (a \vee b) \wedge (a \vee c) a \wedge (b \vee c) = (a \wedge b) \vee (a \wedge c)
Elementos Neutros a \vee 0 = a a \wedge 1 = a
Elementos