Algebra
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´UFPE - Algebra Linear: 1a Avalia¸˜o - 2012.1 ca As respostas somente ser˜o aceitas com justificativa. a N˜o ´ permitido qualquer tipo de consulta. ae Quest˜o 1. Julgue verdadeiro ou falso cada afirma¸˜o abaixo. a ca
a) (1.0) W = {a0 + a1 x + a2 x2 + a3 x3 | a0 + a2 = 1 e a1 − a3 = 0} ´ subespa¸o e c de P3 (R) (espa¸o formado pelos polinˆmios de grau menor ou igual 3). c o
1
b) (1.0) A matriz a seguir n˜o ´ invers´ ae ıvel.
0
0
2
1
1
2
1 2
1 0
1 0
−3 0 1
Quest˜o 2. (1.5) Seja W = [(1, −1, 0, 2), (0, 1, 2, 0), (−1, 2, 3, 1)] subespa¸o de a c
R4 . E seja v = (2, −2, −3, k ). Qual a condi¸˜o sobre k para que v ∈ W ? ca Quest˜o 3. Seja P4 (R) o espa¸o vetorial formado pelos polinˆmios de grau a c o menor ou igual 4. Considere U e W subespa¸os de P4 (R). Abaixo temos uma c base de U e a defini¸˜o de W ca βU = {1 − x − x2 , x , 1 + x2 + 2x4 },
W = {a0 + a1 x + a2 x2 + a3 x3 + a4 x4 | a0 + a2 = a3 + a4 e a1 = 0},
a) (1.0) Determine uma base para W e indique a dimens˜o de W . a b) (1.5) Determine uma base para U ∩ W e indique a dimens˜o de U ∩ W . a c) (1.0) Seja U + W = {v ∈ P4 (R) | v = u + w, com u ∈ U e w ∈ W }.
Determine uma base para U + W e indique a dimens˜o de U + W . a Quest˜o 4. a
0
0
0
0
0 0 2 0 0 1 um base de M2x2 .
,
,
,
1
00
−1 0
0
E seja β outra base para o mesmo espa¸o. Seja matriz mudan¸a de base c a c
a) (1.5) Seja α =
1
[I ]α = β
Determine para v =
00
0
10
0
01
2
0
3
−1 0 2 −1
.
−1 4
suas coordenadas [v ]α e [v ]β .
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Preprint submitted to Elsevier
9 de Abril de 2011
b) (1.5) Seja V = R3 e sejam bases suas: α = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} e β = {(1, −2, 0), (0, −1, 1), (−1, 2, 1)}. Determine as matrizes [I ]β e [I ]α . α β
Boa prova!!!
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