Algebra linear

Resumo das aulas teóricas de Álgebra Linear
Pedro Matias 2◦ Semestre 2007/08
I. Método de eliminação de Gauss 1. Uma equação linear nas n variáveis x1 , . . . , xn é uma equação da forma a1 x1 + . . . + an xn = b, onde a1 , . . . , an , b ∈ R. As variáveis x1 , . . . , xn também se designam por incógnitas. 2. Uma solução particular da equação linear a1 x1 + . . . + an xn = b é um conjunto de números reais (s1 , . . . , sn ) que satisfazem a equação, ou seja, a1 s1 + . . . + an sn = b. O conjunto de todas as soluções da equação linear diz-se o conjunto solução ou a solução geral da equação. 3. Um sistema de equações lineares (SEL) é um conjunto finito de equações lineares nas n variáveis x1 , . . . , xn . Um SEL de m equações a n incógnitas (SEL m × n) escreve-se na forma   a11 x1     a21 x1 . .   .    am1 x1 + + + a12 x2 a22 x2 . . . am2 x2 + + + ... ... . . . ... + + a1n xn a2n xn . . . + amn xn = = b1 b2 . . . = bm

(1)

Se b1 = b2 = . . . = bm = 0, o SEL diz-se homogéneo. 4. Uma solução particular de um SEL m × n é um conjunto de n números reais (s1 , . . . , sn ) que é solução particular das m equações do SEL. O conjunto de todas as soluções de um SEL diz-se o conjunto solução ou a solução geral do SEL. 5. Qualquer SEL m × n satisfaz uma das três hipóteses seguintes: (i) não tem soluções: SEL impossível; (ii) tem solução única: SEL possível e determinado; (iii) tem infinitas soluções: SEL possível e indeterminado. 6. Para resolver SELs de uma forma eficaz e sistemática usamos o Método de Eliminação de Gauss. 1

7. A implementação do MEG baseia-se em dois princípios: (i) Substituição do SEL inicial por outro SEL mais simples; (ii) Solução do SEL inicial = solução do SEL mais simples. 8. As operações elementares do MEG são as seguintes: (i) Multiplicação de uma equação do SEL por c ∈ R − {0}; (ii) Troca da ordem de duas equações do SEL; (iii) cli + lj . 9. Podemos codificar toda a informação de um SEL m × n num quadro de números formado pelos