Algebra linear

Exemplos: 1) O sistema é possível e indeterminado.
2) O sistema é impossível.
3) O sistema é possível e determinado.

2.4 SISTEMAS EQUIVALENTES Dois sistemas S1 e S2 do tipo (*) são chamados equivalentes (S1 ~ S2) se possuem a(s) mesma(s) solução(ões). Exemplo: Sejam e , a terna (1, 2, -3) é solução única de S1 e também de S2. Logo, S1 e S2 são sistemas equivalentes.

2.5 SISTEMAS E MATRIZES Um sistema do tipo (*) pode ser escrito numa forma matricial da seguinte maneira: ou seja, AX=B, onde A é a matriz dos coeficientes, x é a matriz das incógnitas e B é a matriz dos termos independentes.
OBS.: Uma outra matriz que podemos associar ao sistema (*) é , chamada matriz ampliada do sistema (*). Exemplo: No sistema temos a forma matricial: , e a matriz ampliada é .

2.6 OPERAÇÕES ELEMENTARES SOBRE AS LINHAS DE UMA MATRIZ São três as operações elementares sobre as linhas de uma matriz:
i) Permuta das i-ésima e j-ésima linhas (Li Lj). Exemplo: L1 L2: ii) Multiplicação da i-ésima linha por um escalar não nulo (Li  Li). Exemplo: L2  2L2: iii) substituição da i-ésima linha pela i-ésima mais  vezes a j-iésima linha (Li  Li + Lj). Exemplo: L3L3 + +3L2: .

2.7 MATRIZES EQUIVALENTES
2.7.1 Definição: Dadas as matrizes A, B  Mmxn dizemos que a matriz B é linha equivalente da matriz A, se B for obtida da matriz A mediante um número finito de operações elementares sobre as linhas de A. Indicações: A ~ B. Exemplo: fazendo L2  (-2)L1 + L2 temos .
TEOREMA: Dois sistemas lineares do tipo (*) com matrizes ampliadas equivalentes são equivalentes.
Exemplos: 1)
2) Seja . Se At = A, então x = ?

2.8 FORMA ESCALONADA E FORMA ESCADA DE UMA MATRIZ
2.8.1 FORMA ESCALONADA Diz-se que uma matriz A = [aij]mxn está na forma escalonada se o número de zeros precedentes do 1º elemento não nulo de uma linha, aumenta de linha para linha até que sobrem eventualmente apenas uma linha nula. Exemplos:
1) As matrizes e estão na forma