Algebra linear

Lista de Álgebra Linear – Ciência da Computação –
1) Defina o que é um espaço vetorial.
Um espaço vetorial é uma entidade formada pelos seguinte elementos: 1.Um corpo K, ou seja, um conjunto dotado de duas operações internas com propriedades distributivas, elemento inverso, etc. cujos elementos serão chamados de escalares. Os números reais, em relação à adição e multiplicação, são um exemplo de corpo. 2.Um conjunto V dotado de uma operação binária (representada aqui pelo sinal +) de V x V em V. Os elementos de V serão chamados de vetores. 3.Uma operação . de K x V em V.

2) Defina o que é uma transformação linear.

uma transformação linear é um tipo particular de função entre dois espaços vetoriais que preserva as operações de adição vetorial e multiplicação por escalar. Uma transformação linear também pode ser chamada de aplicação linear ou mapa linear. No caso em que o domínio e contradomínio coincidem, é usada a expressão operador linear. Na linguagem da álgebra abstrata, uma transformação linear é um homomorfismo de espaços vetoriais.
3) Dentre as seguintes transformações, verificar quais são lineares:
a) T: R2  R; T(x, y) =
b) T: R2  R2; T(x, y) = (x+1, y)
c) T: R2  R3; T(x, y) = (x – y, 3x, – 2y)
d) T: R2  R4; T(x, y) = (y, x, , )
e) T: R3 → R2; T(x, y, z) = (x +2y – z, 2x –y + z)
f) T: R3 → R3; T(x, y, z) = (x –y -2z, -x + 2y + z, x -3z)

4) Sendo a transformação dada por: T: R3  R3, verifique se a projeção ortogonal do R3 sobre o plano xz é uma transformação linear. 5) Seja T: R3 → R2 dada por: T(x, y, z) = (-z + x, 2y) em relação às bases A = {(1, -1, 1), (0, 1, 0), (0, 1, 1)} do R3 e B = {(1, 1), (0, 1)} do R2, determinar a matriz (T)A, B 6) Seja T: R2 → R3 dada por: T(x, y) = (x, 4x + y, 3x) em relação às bases canônicas A do R2 e B do R3, determinar a matriz (T)A, B

7) Seja T: R3 → R3 dada por: T(x, y, z) = (x, x – y,