Algebra linear matrizes

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11- PRODUTO ESCALAR DE VETORES Dados dois vetores ( ) ( ) , chama-se produto escalar de u por v e

representamos por u.v ao número real: u.v = (x1.x2 +y1.y2) O produto escalar também é indicado por < u, v > e lemos: “ u escalar v” No ( ) ( ), temos:

u.v = (x1.x2 +y1.y2+z1.z2) Por exemplo: se u = ( -1, 3 ) e v = ( 5, 6), u.v = -1.5 + 3.6 = -5 + 18 = 13 EXERCÍCIOS 1. 1. Dados os vetores u = (-3, 4); v = (2, 5); t = (6, -2); w = (1, 0, -1); s = (-5, -3, 4) Calcule: a) u.v = b) v.u = c) t. u = d) v. t = e) w.s = f) [u.v].t = g) u. [v.t] = h) u.[ v + t ] = i) u.v + u.t = j) (2.u).v = k) 2. (u.v) = l) u.u = m) s.s = 2. Determine o valor de a para que o produto escalar de u por v seja 24, dados u = ( a, 3 ); v = ( 2; 6)

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12. MÓDULO DE UM VETOR. Módulo lembra distância, comprimento, sendo, portanto, um valor sempre positivo. Se tomarmos um vetor na reta numerada o vetor u determinado por dois pontos, por exemplo: A (3) e B(8), o comprimento ou módulo do vetor u = ⃗⃗⃗⃗⃗ é dado por | | | |

Fig. 1 Ou o vetor v = ⃗⃗⃗⃗⃗ sendo C( 2 ) e D ( -5 ), o módulo de v é dado por: | | | | | |

Fig. 2 Considere agora, o vetor v em com origem em O(0,0) e extremidade no ponto B(3, 4).

Observe na figura, que, para calcularmos o comprimento, ou módulo do vetor v precisamos aplicar o teorema de Pitágoras. Assim,

| | | | √ √

Fig. 3

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Se considerarmos um vetor u = (a, b ) teremos | |

| |

√

Observe que o módulo de u é um numero real não negativo, pois módulo, corresponde a distância entre a extremidade e a origem do vetor. No caso do vetor da figura, o módulo é a distância da extremidade F à origem do sistema. Observe também que o produto escalar de u por ele mesmo é igual a: | | logo | | quadrada do produto escalar dele por ele mesmo Observe a figura a lado. Se considerarmos um vetor u = (a, b ) teremos | | | | √ √ , ou seja, o módulo do vetor u é a raiz

Fig. 4 Se o vetor é dado por dois pontos, também podemos aplicar o Teorema de Pitágoras.