03 Sistemas Lineares

Sistemas Lineares

Prof. Wellington Passos de Paula [e-mail] Programa g 1. Introdução
2 Métodos
2.
Mé d Di
Diretos
a) Eliminação de Gauss
b) Decomposição LU
3. Métodos Iterativos
a) Gauss-Jacobi
b) Gauss-Siedel

Sistemas Lineares
Introdução
ç
Prof. Wellington Passos de Paula [e-mail] Introdução ç 

A resolução de sistemas lineares é um problema que surge nas mais i di diversas á áreas 

Ex: Cálculos de estruturas, Redes de transporte, Redes de comunicação, etc

Introdução ç Exemplo: Calcular tensões dos nós do circuito elétrico:

V1

Solução: ç Va  Vb
Temos que a corrente entre 2 pontos é dada por: I  R
.
Pela lei de Kirchoff a soma das correntes que chega a um nó é igual g a soma das correntes q que saem dele. Assim:

Introdução ç Exemplo: Calcular tensões dos nós do circuito elétrico:

V1

Nó 1: V2  V1 
1

V3  V1 V4  V1 V1  0


2
2
1

V3  V2 V3  V4 V3  V1 127  V3



Nó 3:
3
1
2
3

Nó 4:

V3  V4 V4  V1

1
2

Nó 2:

V2  V1 V3  V2

1
3

Introdução ç Exemplo: Calcular tensões dos nós do circuito elétrico:
Simplificando as equações:
Nó 1:

V2  V1 V3  V1 V4  V1 V1  0
 6V1  2V2  V3  V4  0



1
2
2
1

V2  V1 V3  V2
 3V1  4V2  V3  0

Nó 2:
1
3

Nó 3:

V3  V2 V3  V4 V3  V1 127  V3



3
1
2
3

 3V1  2V2  13V3  6V4  254

Nó 4:

V3  V4 V4  V1
 V1  2V3  3V4  0

1
2

Introdução ç Exemplo: Calcular tensões dos nós do circuito elétrico:
 6V1  2V2  1V3  1V4  0
 3V  4V  1V  0V  0

1
2
3
4
Montando o sistema: 
 3V1  2V2  13V3  6V4  254
 1V1  0V2  2V3  3V4  0

Nosso problema agora se resume em encontrar os valores de V1, V2, V3 e V4 que solucionem o sistema linear acima. Introdução ç 

Um sistema linear com m equações e n variáveis tem a seguinte i fforma geral: l a11 x1  a12 x2  ...  a1n xn  b1 a21 x1  a22 x2  ...  a2 n xn  b2










am1 x1  am 2 x2  ...  amn xn  bm onde: aij



coeficientes

1 ≤ i ≤ m, m 1≤j≤n

xj



incógnitas

j =