Exercicios geometria de posição

GEOMETRIA ESPACIAL DE POSIÇÃO Conceitos Primitivos: - Ponto: - Reta: - Plano: - Espaço: ●A r α ●B Postulados de Existência: “Existem infinitos pontos, infinitas retas, infinitos planos e um único espaço.” Posições Relativas Ponto e Reta: - Pertence: r - Não Pertence: r P ● ● P Reta e Reta: r Concorrentes (um único ponto em comum) ● P s r s - Coplanares Distintas (nenhum ponto em comum) Paralelas Coincidentes (todos os pontos em comum) r = s - Reversas: não é possível passar um plano por elas. r (não estão num mesmo plano) s ► Determinação de Planos: um plano é determinado por: - Três pontos não colineares: - Uma reta e um ponto fora dela: ●A α P● r α C● ●B - Duas retas paralelas distintas: - Duas retas concorrentes: r α P α s Posições Relativas – continuação... Reta e Plano: - Reta paralela ao plano: - Reta secante, ou concorrente, ao plano: - Reta contida no plano: r r P r α α α (nenhum ponto em comum (um único ponto em comum (todos os pontos da reta com o plano) com o plano) pertencentes ao plano) Plano e Plano: - Secantes ou Concorrentes: - Paralelos Distintos: - Paralelos Coincidentes: β α = β α …

espaço ao plano O Sólido Geométrico Plano que contém a face [BCGF] Plano BFG pode ser definido por: • duas rectas paralelas FG e BC • três pontos F, B e C • um ponto F e pela recta BC  duas rectas concorrentes FG e GC Posição Relativa de duas rectas no Espaço Complanares Paralelas Coincidentes Não Complanares Concorrentes Estritamente Oblíquas paralelas Perpendiculares Posição relativa das rectas s s et t s As rectas são: e t •Complanares •Paralelas •COINCIDENTES…

Ponto Reta Plano notação: notação: notação: Reta e plano o A reta está contida no plano o A reta é concorrente (ou secante) com o plano. o A reta e o plano são paralelos.  A, B, C ... r, s, t ... POSTULADOS Postulado da existência o Existe reta e, numa reta, bem como fora dela, há infinitos pontos. o Existe plano e, num plano, bem como fora dele, há infinitos pontos.  Postulado da determinação o Dados dois pontos distintos do espaço, existe uma única reta que contém ambos os…

Axiomas, ou postulados, são proposições aceitas como verdadeiras sem demonstração e que servem de base para o desenvolvimento de uma teoria. Os conceitos primitivos, como ponto, reta e plano, não tem definição, mas podemos representá-los graficamente: a) Ponto b) Reta c) Plano Observação: Espaço é o conjunto de todos os pontos. A notação usada por Hilbert (1862-1943), e normalmente adotada por nós, é a seguinte:  Os pontos são indicados por letras maiúsculas (A, B, C…

1.4. Plano Agora, as faces do cubo como por exemplo o quadrado ABCD, são figuras planas. Observe o plano da face ABCD indicado na figura abaixo. É o plano (. O plano ( é o plano da face ABCD. Observe que ele não é “limitado, não “pára” onde a figura termina. Notemos que: 1) No plano ( há pontos. 2) Fora do plano ( também existem pontos. 3) Três quaisquer dos vértices do cubo estão numa mesma reta, mas existe um plano ao qual eles pertencem. …

b) c) d) Três pontos, distintos dois a dois, determinam um plano. Um ponto e uma reta determinam um plano. Se dois planos distintos têm um ponto em comum, tal ponto é único. Se uma reta é paralela a um plano e não está contida neste plano, então ela é paralela a qualquer reta desse plano. e) Se  é o plano determinado por duas retas concorrentes r e s, então toda reta m desse plano, que é paralela à r, não será paralela à reta s. 02. (UFPB) Assinale a alternativa cuja…

RELATIVAS DE RETAS A PLANOS NO ESPAÇO Paralelismo de retas no espaço No espaço, duas retas são paralelas que existe um plano que as contém, e se essas retas não se tocam. Assim sendo elas estão na mesma direção mesmo que estejam em sentidos opostos. Ex: Os fios de um torre de transmissão de energia, eles estão na mesma direção e sentido mas jamais se tocam (nem se aproximam nem se afastam). Um exemplo intuitivo desta primeira situação é considerar a superfície de um lago como um…

Se uma reta tem dois pontos em comum com um plano, então ela está contida nesse plano. Teorema 2. Por uma reta e um ponto não pertencente a ela passa um único plano. Teorema 3. Por duas retas concorrentes passa um único plano. Postulado 9. Se dois planos possuem um ponto em comum então eles possuem pelo menos mais um ponto em comum. Interseções de dois planos Sejam e planos. Então • e não têm ponto em comum. • e têm um ponto em comum. Nesse caso os planos têm pelo menos…

b) c) d) Três pontos, distintos dois a dois, determinam um plano. Um ponto e uma reta determinam um plano. Se dois planos distintos têm um ponto em comum, tal ponto é único. Se uma reta é paralela a um plano e não está contida neste plano, então ela é paralela a qualquer reta desse plano. e) Se  é o plano determinado por duas retas concorrentes r e s, então toda reta m desse plano, que é paralela à r, não será paralela à reta s. 02. (UFPB) Assinale a alternativa cuja…

Para o estudo de posições relativas, é importante “enxergar” as retas e os planos, juntamente com os elementos que o definem, ou seja, FAÇA vários esboços, por exemplo, duas retas paralelas, uma reta perpendicular a um plano, etc. Para resolver problemas, como ângulos, distâncias e interseções, envolvendo retas e planos, não como eles estão definidos pelas suas equações, mas genericamente, é necessário saber como eles estão colocados no espaço, ou seja, em que posição um está em…