Séries reais

Professor Fábio Bordignon. CURITIBA 2008 DEFINIÇÃO DE SÉRIE NUMÉRICA Seja an uma sucessão numérica. Chama-se série gerada por an a sucessão Sn definida do modo seguinte: Para designar a série usa-se qualquer das notações: Os números a1, a2, . . . , chamam-se termos da série, an diz-se termo geral da série e as somas S1, S2, . . . chamam-se somas parciais. DEFINIÇÃO DE CONVERGÊNCIA A série Σan diz-se convergente se existir e for finito o limite: Se este limite não existir ou não for finito a série diz-se divergente. No caso de convergência chama-se soma da série ao valor, S, do limite, isto é, EXEMPLO: Chama-se série geométrica a série gerada por uma progressão geométrica: se an é uma progressão geométrica de razão r ≠ 1 temos que [pic] Sabemos que Sn é convergente se, e só se, |r| < 1, logo a série geométrica é convergente se, e só se, o valor absoluto da razão da progressão geométrica que a gerou for menor do que 1. No caso de convergência temos que: Se r = 1 a série é uma série de termo geral constante, isto é, tendo-se, assim, Sn = na1 e, se a1 ≠ 0, a série será divergente. TEOREMA 1: Se a série é convergente então an é um infinitésimo. Demonstração: Como a série é convergente, a sucessão é uma sucessão convergente, o mesmo acontecendo a Sn−1, tendo-se: [pic]…

Cálculo Diferencial em R 1 1.1 Limites e continuidade Sejam f : Df ⊆ R → R uma função real (escalar) de variável real e a ∈ R um ponto de acumulação1 de Df . Definição 1 O número real L é o limite de f no ponto a, e escreve-se f (x) −→ L quando x −→ a ou L = limx→a f (x), se ∀δ > 0 ∃ε = ε (δ) > 0 | ∀x ∈ Df ∧ 0 < |x − a| < ε =⇒ |f(x) − L| < δ (para todo o δ > 0 existe ε > 0, dependente do δ tomado, tal que a distância de f (x) a L é inferior a δ sempre…

Capítulo 3 Séries Numéricas Neste capítulo vamos considerar somas de termos de sucessões, as quais se designam por séries. No entanto, é habitual designar as séries finitas por somatórios, deixando-se a designação de séries para as somas infinitas. 3.1 Somatórios Os somatórios surgem como uma necessidade de simplificação da escrita de somas de termos de uma sucessão. Definição 3.1.1 (Somatório) Sejam uk uma sucessão de termos reais e n ∈ N. O símbolo de somatório n uk k=1 …

marcante no Cálculo Elementar, Teoria dos Determinantes e nas Séries Infinitas, sendo estas responsáveis pelo desenvolvimento da Teoria das Funções. Definindo sequência/sucessão Observe a informação que darei a seguir e compreenda a ideia prática de sucessão ou sequência. A Copa do Mundo de 2010, realizada na África do Sul, teve como campeã, ou seja, em primeiro lugar, a Espanha; no segundo lugar, a Holanda; no terceiro lugar a Alemanha e no quarto, Uruguai. Estes dados podem ser…

SÉRIES TELESCÓPICAS Manaus 2012 SÉRIES NUMÉRICAS Os primeiros exemplos de seqüências numéricas que tomamos conhecimento no nosso estudo de Matemática foram as progressões aritméticas (P.A.) e geométricas (P.G.). Nem sempre teremos seqüências de números que crescem (ou decrescem) pela soma (P.A.) ou produto (P.G.) de uma mesma quantidade. Definição Uma sequência numérica u é uma função definida no conjunto (N) dos Naturais.…

Uma sequência ou sucessão é qualquer conjunto organizado de objectos, números ou eventos de qualquer natureza. Para representar uma sucessão escrevem-se os seus elementos numa lista pela sua ordem bem determinada entre parêntesis.1 Frequentemente nos deparamos com situações em que enumeramos elementos de um conjunto seguindo uma determinada ordenação: Da sucessão dos presidentes de um país; Da sequência dos episódios de uma minissérie de televisão; Repare que há dois aspectos…

situações em que enumeramos elementos de um conjunto seguindo uma determinada ordenação): Da sucessão dos presidentes de um país; Da sequência dos episódios de uma minissérie de televisão; Repare que há dois aspectos importantes na seqüência: o tipo[carece de fontes] e a ordem dos elementos. Todos os elementos de uma sucessão são do mesmo tipo[carece de fontes] (por exemplo: apenas presidentes) e obedecem uma ordenação (por exemplo: primeiramente ocorre o primeiro episódio da…

Matemática I e visa apresentar dois temas gerais que passo a citar: “Séries numéricas” e “Séries de Funções”. Tentámos procurar definições e casos susceptíveis das mesmas, entre elas, Séries Geométricas e Séries de Dirichlet, algumas das suas propriedades, critérios de termo geral para divergência, séries de termo não negativos, e séries absolutamente/simplesmente convergentes. No que toca ao segundo tema (Séries de Funções), procurámos exemplos de Séries de…

Trabalho De Matemática Instituição: Instituto Tecnológico Simonsen Tema: Progressão Geométrica Aluno: Patrick dos Reis Barbosa Orientador: Serra Introdução Chamamos Progressão Geométrica (P.G.) a uma seqüência de números reais, formada por termos, que a partir do 2º, é igual ao produto do anterior por uma constante q dada, chamada de razão da P.G. Desenvolvimento…

Enquadramento teórico Chama-se sequência ou sucessão numérica, a qualquer conjunto ordenado de números reais ou complexos. Assim, por exemplo, o conjunto ordenado A = ( 3, 5, 7, 9, 11, ... , 35) é uma sequência cujo primeiro termo é 3, o segundo termo é 5, o terceiro termo é 7 e assim sucessivamente. Uma sequência pode ser finita ou infinita. O exemplo dado acima é de uma sequência finita. Isto é chama-se sucessão a um conjunto de figuras ou números dados ordenadamente, de modo…