Séries reais

SÉRIES REAIS

CURITIBA
2008

SÉRIES REAIS

Trabalho apresentado à disciplina de
Cálculo III, sob a supervisão do
Professor Fábio Bordignon.

CURITIBA
2008
DEFINIÇÃO DE SÉRIE NUMÉRICA

Seja an uma sucessão numérica. Chama-se série gerada por an a sucessão Sn definida do modo seguinte:

Para designar a série usa-se qualquer das notações:

Os números a1, a2, . . . , chamam-se termos da série, an diz-se termo geral da série e as somas S1, S2, . . . chamam-se somas parciais.

DEFINIÇÃO DE CONVERGÊNCIA

A série Σan diz-se convergente se existir e for finito o limite:

Se este limite não existir ou não for finito a série diz-se divergente.
No caso de convergência chama-se soma da série ao valor, S, do limite, isto é,

EXEMPLO: Chama-se série geométrica a série gerada por uma progressão geométrica: se an é uma progressão geométrica de razão r ≠ 1 temos que

[pic]

Sabemos que Sn é convergente se, e só se, |r| < 1, logo a série geométrica é convergente se, e só se, o valor absoluto da razão da progressão geométrica que a gerou for menor do que 1. No caso de convergência temos que:

Se r = 1 a série é uma série de termo geral constante, isto é,

tendo-se, assim, Sn = na1 e, se a1 ≠ 0, a série será divergente.

TEOREMA 1: Se a série é convergente então an é um infinitésimo.

Demonstração: Como a série é convergente, a sucessão é uma

sucessão convergente, o mesmo acontecendo a Sn−1, tendo-se:

[pic]

NOTA: Este teorema indica uma condição necessária, mas não suficiente para que uma série seja convergente. Assim a sua utilidade é, sobretudo, para decidir que uma série é divergente já que se o termo geral não for um infinitésimo a série será com certeza divergente.