Apostia sobre séries de Potência

Cálculo Diferencial em R

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1.1

Limites e continuidade

Sejam f : Df ⊆ R → R uma função real (escalar) de variável real e a ∈ R um ponto de acumulação1 de Df .
Definição 1 O número real L é o limite de f no ponto a, e escreve-se f (x) −→ L quando x −→ a ou L = limx→a f (x), se
∀δ > 0 ∃ε = ε (δ) > 0 | ∀x ∈ Df ∧ 0 < |x − a| < ε =⇒ |f(x) − L| < δ
(para todo o δ > 0 existe ε > 0, dependente do δ tomado, tal que a distância de f (x) a L é inferior a δ sempre que a distância de x a a é inferior a ε, para x ∈ Df \ {a}).
A condição 0 < |x − a| < ε significa que x ∈ ]a − ε, a + ε[ e x = a. A existência de limite traduz-se intuitivamente por "os valores f (x) e L serão arbitrariamente próximos (ou seja, a distância |f(x) − L| será tão pequena quanto se queira) sempre que nos limitemos a considerar valores de x suficientemente próximos de a (isto é, desde que |x − a| seja suficientemente pequeno)". Contudo, a existência do limite de f no ponto a nada informa2 acerca do valor da função f no ponto a. O limite de f no ponto a, quando existe, é único.
A definição de limite exige que existam e tenham o mesmo valor os limites da função f restringida a qualquer subconjunto do seu domínio, ou
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Considerando definida em R a distância euclidiana, um ponto a ∈ R é um ponto de acumulação de D ⊆ R se a todo o intervalo aberto centrado em a pertence pelo menos um ponto de D distinto de a, ou seja,
∀ε > 0 ∃x ∈ D \ {a} | x ∈ ]a − ε, a + ε[ .
Na verdade, tal implica que em qualquer vizinhança de a existem infinitos pontos de D, ou seja,
∀ε > 0, ]a − ε, a + ε[ ∩ D é um conjunto infinito.
O intervalo ]a − ε, a + ε[ pode designar-se por bola aberta de centro em a e raio ε. Um ponto que não é de acumulação de D diz-se um ponto isolado. O conjunto de todos os pontos de acumulação do conjunto D designa-se por derivado de D e denota-se por D .
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Tal valor f (a) pode nem existir e, mesmo no caso em que a ∈ D, podemos ter lim f (x) = L = f (a).

x→a

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seja, que