Cálculo do volume de sólidos de revolução

Sólido de revolução é a figura tridimensional obtida pela rotação de uma superfície em torno de um eixo. Os sólidos de revolução que nos interessam são obtidos de superfícies definidas por funções em um intervalo, através da rotação de y = f(x) em torno do eixo ox, ou em torno do eixo oy. Analogamente ao processo de encontrar área entre curvas no plano e a medida da superfície de sólidos de revolução (agora queremos seu volume) vamos fazer aproximações primeiro dividindo o intervalo [a,b] em n subintervalos [xi-1, xi] e calcular o volume do cilindro formado nesse subintervalo, como sugere a figura abaixo: Vamos considerar primeiro, o caso da rotação de y = f(x) em torno do eixo ox. Façamos a = x0 e b = xn. Cada subintervalo tem largura . Para o raio de cada cilindro podemos escolher qualquer um de seus pontos, por exemplo xi. E assim r = f(xi). O volume de um cilindro é calculado pelo produto da área da base, círculo de raio r, pela altura h. Então o volume é dado por: Para cada cilindro Vi definido pelo intervalo [xi-1, xi] tem raio r = f(xi) e altura . Assim o volume de cada cilindro é: . O volume aproximado da superfície que queremos é a soma dos n Vi assim formados. Sabemos que quanto maior o n, ou menor o mais próximo o somatório estará do volume real desejado. E assim se fizermos , ou o que é equivalente, , teremos o valor exato que queremos, ou seja, o limite do somatório mostrado abaixo: Pelo Teorema…

Cálculo 2 Cálculo de volumes Sólidos de Revolução Introdução: Dados um plano a, uma reta r desse plano e uma região R do plano a inteiramente contida num dos semi-planos de a determinado por r, vamos considerar o sólido de revolução gerado pela rotação da região R em torno da reta r. a Para isso usaremos ainda seções transversais e tomaremos como eixo orientado o eixo de rotação (a reta r). Volume de Sólidos Volume de um sólido quando é conhecida a área de…

Ensino Superior Cálculo 2 4. Volume de Sólidos – Integral Simples Amintas Paiva Afonso Sólidos de Revolução Sólidos de Revolução Introdução: Dados um plano a, uma reta r desse plano e uma região R do plano a inteiramente contida num dos semi-planos de a determinado por r, vamos considerar o sólido de revolução gerado pela rotação da região R em torno da reta r. a Para isso usaremos ainda seções transversais e tomaremos como eixo orientado o eixo de rotação (a reta r). Volume de…

CÁLCULO DE VOLUME DE UM SÓLIDO DE REVOLUÇÃO Joinville 06/2014 CÁLCULO DE VOLUME DE UM SÓLIDO DE REVOLUÇÃO Prof.: Carla R. K. Ferreira Alunos: Luiz Belini Chaves Junior, Lucas Lutto, João Paulo Miguel Heinz Engenharia Civíl, Turma: ECV 321 Joinville 06/2014 Lista de Ilustrações Figura 1 - Visão Sólido 6 Figura 2 - Visão Sólido Rotação com pontos 6 Figura 3 - Visão Sólido Rotação e…

definida Volume de Sólido de Revolução Algumas aplicações da engenharia em estática, considerando um corpo extenso, e com distribuição continua de massa, uniforme ou não é necessário determinar-se e momento de inércia, centroide tanto de placas como de sólidos. Neste sentido é necessário o conhecimento de cálculo para determinação de volumes e áreas superficiais. Nesta aula será desenvolvido o método para cálculo do volume de revolução de um sólido, que deverão ser aplicados nas…

DESENVOLVIMENTO DE UM SÓLIDO DE REVOLUÇÃO ISOLANTE ELÉTRICO André Amaral Reis 1 Felipe Miguel Rincawetscki 2 João Oliveira 3 Wilian Comin 4 RESUMO: O Projeto Interdisciplinar consiste no desenvolvimento de um projeto com base nas disciplinas de álgebra linear e geometria analítica II e cálculo diferencial e integral II, tendo como objetivo principal a construção de um sólido de revolução real. O sólido em questão se trata de um isolador elétrico tipo roldana, também conhecido…

UNIVERSIDADE ESTÁCIO DE SÁ ENGENHARIA ELÉTRICA Igor Jasmim da Nóbrega 201102180033 William Chaves Araújo 201102154679 CÁLCULO DE VOLUME POR ROTAÇÃO Rio de Janeiro Maio 2012 IGOR JASMIM DA NÓBREGA 201102180033 WILLIAM CHAVES ARAÚJO 201102154679 CÁLCULO DE VOLUME POR ROTAÇÃO Trabalho de apresentação sobre o cálculo de volume por rotação de uma figura geométrica plana. Professor: Mathusalecio Padilha…

ETAPA 3 1.10 Primeiro Passo * Áreas: talvez esta seja a mais óbvia aplicação para o cálculo de integrais, mas faremos algumas considerações sobre o estudo de áreas sob curvas que são importantes para que sejam evitados erros durante o processo de análise dos valores. Como consequência direta da definição da integral temos a área sob da curva a ser integrada e o eixo das abscissas , seja a função , considerando que a mesma pode assumir valores tanto positivos como negativos, o fato…

PG Volume de Sólido de Revolução............................................................. 03 Passo 1 ......................................................................................................... 03 Passo 2 ......................................................................................................... 05 Etapa 4 Passo 1 (Equipe) Façam as atividades apresentadas a seguir. 1. Leiam atentamente o capítulo do livro-texto que descreve os…

DISCIPLINA DE CÁLCULO III Prof ª. Drª. Fátima Ahmad Rabah Abido Marília - SP 1º Semestre de 2011 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ANTON, H. Cálculo – um novo horizonte. V. 1. 6 ª ed. Bookman: Porto Alegre. 2.000. EDWARDS JR., C.H. & PENNEY, D.E. Cálculo com geometria analítica. V. 1 e 2. 4ª ed. Prentice Hall: Rio de Janeiro. 1997. FLEMMING, D.M. & GONÇALVES, M.B. Cálculo A. 5ª ed. McGraw- Hill: São Paulo. 1992.…