Calcule O Volume De F X X

que uma função F ( x ) é primitiva de outra função f ( x ) , se F ' ( x ) = f ( x ) . Exemplo: F ( x ) = x 3 é primitiva de f ( x ) = 3x 2 , pois F ' ( x ) = f ( x ). Entretanto, ela não é única. São, também, primitivas de f ( x ) as seguintes funções: 2 F1 ( x ) = x 3 + 7 , F2 ( x ) = x 3 − 15 , F3 = x 3 + , etc. 5 Generalizando, se F ' ( x ) = f ( x ) , a expressão geral das primitivas de f ( x ) é F ( x ) + c , onde “c” é uma constante arbitrária. Teorema: Se F1 ( x ) e F2 ( x )…

INTEGRAIS DUPLAS VOLUMES E INTEGRAIS DUPLAS Na tentativa de resolver o problema de determinar áreas, chegamos à definição de integral definida. Vamos aplicar procedimento semelhante para calcular o volume de um sólido e, no processo, chegar à definição de integral dupla. Consideremos uma função f de duas variáveis definida em um retângulo fechado R = [a,b] x [c,d] = {(x,y) ∈IR2| a < x < b, c < y < d } y d R c a b x e vamos, inicialmente, supor f(x,y) > 0. O gráfico…

Integral (I) (II) (III) Área Volume de sólidos de Revolução Comprimento de Arco (I) Área Dada uma função positiva f(x), a área A entre o gráfico de f e o eixo x e as retas x=a e x=b é dada por: 𝑏 𝐴= 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 𝑎 Generalizando, suponha que tem-se duas funções, e que 𝐹(𝑥) ≥ 𝑔(𝑥), ∀ 𝑥 ∈ 𝑎, 𝑏 . A área A entre o gráfico de g e as retas verticais x=a e x=b é dada por: 𝑏 𝐴= 𝑓 𝑥 − 𝑔 𝑥 𝑑𝑥 𝑎 Sendo f(x) a função que está por cima durante o intervalo [a,b] e g(x) a função que está embaixo

9) 817,1 +95,64 + 6005,489 = Multiplicar: 1) 234, x 0,4 = 4) 0,0005 x 0,03= 7) 1,5 x 2, 53 = 2) 0,405x 0,5041= 5) 0,4 x 23,1 = 8) 0,550 x 0,88 = 3) 32,4 x 4,12 = 6) 1,581 x 5,002 = 9) 0,0005 x 0,0012= Dividir: 1) 65,386 : 3 =

alfabeto, x, y, z, w e chamá-las de variáveis Assim as funções acima ficariam: y = 90x onde x representa o tempo e y a quantidade. y = 0,05x onde x representa as vendas e y o salário Neste capítulo abordaremos alguns tipos mais importantes de funções, com mais detalhe dada a sua importância. 1.1 – Função constante A função definida pela equação f(x) = k e é chamada função constante. Esta função é utilizada para escrever situações que nunca mudam. Seu gráfico é uma reta…

funções: 64  x 2  y 2 a) z = f(x , y) = c) z =f(x, y) = e) z = xy x 4 y b) z = f(x , y) = ln (x + y) d) z = f(x, y) = 2 8 x y f) z = 1 x y 2 xy  x 2  36  y 2 2. Verifique se a função é homogênea e caso afirmativo, dê o grau de homogeneidade: a) f(x,y) = x.y R: sim, grau 2 c) f(x, y) = 2. x0,6 y0,4 R: sim, grau 1 b) f(x, y) = x2 + y 2 –1 R:Não d) f(x,y) = x2+ y2 R: sim, grau 2 3 xy 2 e) f(x, y) = R: sim, grau 2 f) …

curvas: a a (1.1) y = ln x, x = 2 e o eixo Ox (1.2) x = 8 + 2y − y 2 , y = 1, y = 3 e x = 0 (1.3) xy = 4 e x + y = 5 (1.4) y = 2x , y = 2x − x2 , x = 0 e x = 2 (1.5) y = 2x, y = 1 e y = 2 x (1.6) y = |x2 − 4| e y = 2 9 , y = 9x e y = x x (1.7) y = x3 − 3x e y = 2x2 (1.8) y = (1.9) f (x) = x|x| e g(x) = x3 (1.10) x = y 2 − 2 e x = 6 − y 2 Volumes por se¸˜es planas paralelas co [2] Utilizando se¸˜es planas paralelas, mostre que o volume de uma…

y = f (x), as retas x = a, x = b e o eixo x, sendo f (x) ≥ 0 para todo [a, b]. A área da região R é dado pela fórmula: b A= f (x)dx. a y y y = f (x) y = f (x) R O a b O x a x1 x2 xi xi+1 b = xn x DEMONSTRAÇÃO Tomemos números x0 , x1 , x2 , · · · , xn ∈ [a, b] tais que a = x0 < x1 < x2 < · · · < xn = b e, x∗ , x∗ , · · · , x∗ tais que x∗ ∈ [xi−1 , xi ]. Então 1 2 n i n A ∼ (x1 − x0 ) f (x∗ ) + (x2 − x0 ) f (x∗ ) + · · ·…

seguintes curvas: a a (1.1) y = ln x, x = 2 e o eixo Ox (1.3) xy = 4 e x + y = 5 2 x (1.7) y = x3 − 3x e y = 2x2 (1.5) y = 2x, y = 1 e y = (1.9) f (x) = x|x| e g(x) = x3 (1.2) x = 8 + 2y − y 2 , y = 1, y = 3 e x = 0 (1.4) y = 2x , y = 2x − x2 , x = 0 e x = 2 (1.6) y = |x2 − 4| e y = 2 9 (1.8) y = , y = 9x e y = x x (1.10) x = y 2 − 2 e x = 6 − y 2 Volumes por se¸˜es planas paralelas co [2] Utilizando se¸˜es planas paralelas, mostre que o volume de uma pirˆmide…

equações paramétricas Resolução: { equação t -1 0 1 2 x 3 0 -1 0 y 0 1 2 3 Exemplo: Que curva é representada pelas equações paramétricas Resolução: { 2 MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO UNIVERSIDADE FEDERAL DOS VALES DO JEQUITINHONHA E MUCURI TEÓFILO OTONI – MINAS GERAIS BACHARELADO EM CIÊNCIA E TECNOLOGIA www.ufvjm.edu.br Curva de um círculo Fazer uma tabela para identificar o intervalo t x 1 0 -1 y 0 1 0 0 -1 1 0 0…