Cálculo 3

Cálculo Diferencial e Integral 3 – Funções de várias variáveis
1. Represente graficamente o domínio das seguintes funções:
64  x 2  y 2

a) z = f(x , y) =
c) z =f(x, y) =
e) z =

xy x 4 y

b) z = f(x , y) = ln (x + y)
d) z = f(x, y) =

2

8 x y

f) z =

1 x y
2

xy

 x 2  36  y 2
2. Verifique se a função é homogênea e caso afirmativo, dê o grau de

homogeneidade:
a) f(x,y) = x.y

R: sim, grau 2

c) f(x, y) = 2. x0,6 y0,4 R: sim, grau 1

b) f(x, y) = x2 + y

2

–1

R:Não

d) f(x,y) = x2+ y2 R: sim, grau 2

3 xy 2
e) f(x, y) =
R: sim, grau 2 f) x y

R: sim, grau 2

3. Suponha que T(x,y) = 4x2+9y2 represente uma distribuição de temperatura em graus Celsius no plano xy.
a) Qual a temperatura no ponto P(1,3)? R: 85°
b) Desenhe a isotérmica correspondente à temperatura 36. R: É a curva de nível 36 (uma elipse)
4. Desenhe as curvas de nível da função f(x,y) = 4 - x2 - y2 e esboce o gráfico.
5. Considere a função f ( x, y, z )  x 2  y 2  z 2 .
a) Desenhe a superfície de nível c = 4. R: esfera de centro na origem e raio 2.
b) Verifique se a função é homogênea R: Sim, de grau 2
c) Calcule

R: 6

d) Determine o vetor gradiente. R: (2x,2y,2z)
6. Desenhe as curvas de nível da função f(x,y) = x + y –1 R: São retas paralelas

7. Calcular a inclinação da reta tangente à interseção do gráfico de superfície , com o plano y=2 no ponto (3,2 ,48). R:

88,57°

8. Represente graficamente o domínio da função:
a)

b)

9. Mostre que os limites não existem:
a)

x2 lim 2
2
( x , y ) ( 0 , 0 ) x  y

b)

x2  y2 lim 2
2
( x , y ) ( 0 , 0 ) x  y

10. Calcule os seguintes limites:
a)

c)

e)

lim

( x , y ) ( 2, 2 )

lim

( x , y ) (1, 1)

lim

( x , y ) ( 3, 3)

x2  y2
R: 4 x y

b)

x 2  xy
R: 1 x y

d)

x4  y4
R: 18 x2  y2

f)

lim

ln( xy  1) R: 0

lim

sen( x  y) R: 0

( x , y ) ( 2,1)

( x , y ) (1, 1)

lim

(