Calculo 3

Universidade Federal Fluminense ´ Instituto de Matematica e Estat´stica ı ´ Departamento de Matematica Aplicada

C´lculo III-A – Lista 1 a
Exerc´ ıcio 1: Calcule as seguintes integrais duplas: a)
D

x 1 + y2

dxdy, sendo D = [1, 2] × [0, 1].

b)
D

x dxdy na regi˜o D compreendida entre as curvas y = x2 , y = 0 e x = 1. a x y
D

c)

dxdy, onde D ´ a regi˜o limitada pelas retas y = x, y = 2x, x = 1 e x = 2. e a

Solu¸˜o: ca a) O esbo¸o de D est´ representado na figura que se segue. c a y
1

D
1 2

x

Como D ´ um retˆngulo com os lados paralelos aos eixos coordenados, temos 1 ≤ x ≤ 2 e 0 ≤ y ≤ 1. e a Pelo teorema de Fubini, o valor da integral dupla pode ser obtido por meio de qualquer uma das seguintes integrais iteradas:
1 0 1 2

x 1 + y2

2

1 0

dxdy ou
1

x 1 + y2

dydx .

Usando a primeira delas, temos, x 1 + y2
D 1 1 2 1

dxdy =
0

x 1 + y2
1 0

1

dxdy =
0

1 1 + y2

2

x dxdy =
1

=
0

1 1 + y2

x2 2

2 1

dy =

3 2 3 2

1 1 + y2

dy =
3π 8

3 2

arctg y

1 0

=

= (arctg 1 − arctg 0) =

3 2

π 4

−0 =

.

´ Calculo III-A

Lista 1

2

y
1

y = x2

D
1

x

b) O esbo¸o de D est´ representado na figura que se segue. c a Como D ´ diferente de um retˆngulo com lados paralelos aos eixos coordenados, devemos enquadrar e a D como uma regi˜o do tipo I ou do tipo II. a

Solu¸˜o 1: ca Vamos descrever D como tipo I. Seja (x, y) ∈ D. Ent˜o tra¸amos uma reta vertical por (x, y). a c y
1

D y = x2 (x, y) 1 y=0

x

Vemos que esta reta vertical corta a fronteira inferior de D no eixo x, onde y = 0, e a fronteira superior de D na par´bola y = x2 . Ent˜o, 0 ≤ y ≤ x2 . Projetando a regi˜o D sobre o eixo x, encontramos a a a o intervalo fechado [0, 1]. Ent˜o, 0 ≤ x ≤ 1. Portanto D = {(x, y); 0 ≤ x ≤ 1 , 0 ≤ y ≤ x2 }. a Temos, ent˜o, a
1 x2 1 x2 1

x dxdy =
D 1 0 0 1 0

x dydx =
0

x
0

dydx =
0

x y

x2 dx 0

=

=
0

x3 dx =

x4