Aplica Es De Integral

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Resumo com exercícios resolvidos do assunto:
Aplicações da Integral
(I)
(II)
(III)

Área
Volume de sólidos de Revolução
Comprimento de Arco

(I)

Área

Dada uma função positiva f(x), a área A entre o gráfico de f e o eixo x e as retas x=a e x=b é dada por:

𝑏

𝐴=

𝑓 𝑥 𝑑𝑥
𝑎

Generalizando, suponha que tem-se duas funções, e que 𝐹(𝑥) ≥ 𝑔(𝑥), ∀ 𝑥 ∈ 𝑎, 𝑏 .

A área A entre o gráfico de g e as retas verticais x=a e x=b é dada por:
𝑏

𝐴=

𝑓 𝑥 − 𝑔 𝑥 𝑑𝑥
𝑎

Sendo f(x) a função que está por cima durante o intervalo [a,b] e g(x) a função que está embaixo.

Exemplo 1: Calcule a área entre os gráficos das funções y=x² e y =2x-x².
Resposta:
Note que o enunciado não nos dá o intervalo, logo temos que a área entre os gráficos é justamente a área gerada por duas interseções seguidas, logo,vamos resolver por passos para você se habituar com a resolução destes tipo de questões.
 Passo 1: Encontrar os pontos de interseção,achando a solução ao igualar uma das componentes das funções (neste caso o y).
𝑦 = 𝑥 = 2𝑥 − 𝑥²
2𝑥² = 2𝑥, 𝑙𝑜𝑔𝑜 𝑥 = 0 𝑜𝑢 𝑥 = 1
 Passo 2: Encontrar qual função é maior entre os dois pontos de interseção, substituindo valores na função entre os dois pontos (Neste caso, um valor possível seria x=1/2 pois está entre 0 e 1).
1
𝑥=
2
1
1
𝑓 𝑥 = 𝑦=
²=
2
4
1
1
3
𝑔 𝑥 = 𝑦 = 2. −
²=
2
2
4
2
2
Logo, 𝑔 𝑥 = 2𝑥 − 𝑥 ≥ 𝑓 𝑥 = 𝑥 𝑛𝑜 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜 0,1
 Passo 3: Integrar as funções de acordo com a definição dada anteriormente para encontrar a área.
1
1
1
𝐴=
2𝑥 − 𝑥 2 − 𝑥 2 𝑑𝑥 = (2𝑥 − 2𝑥²)𝑑𝑥 =
3
0
0
Dependendo da situação, pode ser melhor integrar com relação ao eixo y.
Exemplo 2:Encontre a área delimitada pelo gráfico das curvas 𝑦² = 2𝑥 + 6 𝑒 𝑦 = 𝑥 − 1.
Resposta:

→Percebe-se que é mais vantajoso integral a curva y²=2x+6 com relação ao eixo y(se fossemos isolar o y,encontraríamos uma raiz quadrada,que é mais trabalhoso do que um polinômio normal) ,então, a curva y=x-1 também deve ser