Sólidos de revolução

SALA: 68- C Animais Cálculo Diferencial e Integral 2 Quarta Feira 4a Aula Aplicações de Integrais Definidas: Centróide e Volume Turma: BCT Prof. Walter Martins Versão: 2o Semestre de 2010 Aplicações das Integrais Definidas A integral definida para cálculo do Centróide O problema de determinar o centróide de uma região planar (R) é definido como o centro de massa da região. O centro de massa é o ponto pelo qual esta região R pode ser suspensa sem girar. As coordenadas (, ) do centróide são dadas por Exemplo: Achar as coordenadas do centróide da região limitada pela curva y2 = 2x e o eixo x, no intervalo [0,3]. Solução: Acha-se a área A = = = . 2 . = Exemplo: Determinar o centróide da figura entre as duas curvas e . = = = = = = 0,43 Exemplo: Determinar o centróide de uma semicircunferência positiva. Solução: A equação da circunferência e , onde . Então, é a semicircunferência. , como já era esperado. Exercício: Calcule o centróide de uma semicircunferência. A equação da circunferência e x2 + y2 = r2 , onde r = raio, r = 2. Então y = é a semicircunferência. (como já era esperado) A = = = = A =

Rodrigo Thiago PESQUISA DE FÍSICA CENTRO DE MASSA CENTRÓIDE CENTRO DE GRAVIDADE São Bernardo do Campo Novembro 2013 INTRODUÇÃO Na física, o centróide, o centro de gravidade e o centro de massas podem, sob certas circunstâncias, coincidir entre si. Nesses casos, pode-se utilizar os termos de maneira intercambiável, mesmo que designem conceitos diferentes. O centróide é um conceito puramente geométrico enquanto que os outros dois se relacionam com as propriedades…

x + y = 3a → x = 3a − y  y = 4 a( 3a − y ) y 2 − 12.a 2 + 4 ay = 0 y 2 + 4 ay − 12a 2 = 0 y= − 4 a ± 16 a 2 + 48 a 2 2 − 4a ± 8a y= 2  y = 2a   y' = −6 a 2 - Área 2a A= ∫ ( 3a − y − 0 y2 )dy 4a 2a  y2 y3  A = 3ay − −  2 12a    0 1 A = 6 a 2 − 2a 2 − .8 a 3 12a 2 A = 4a2 − a2 3 2 10.a A= u .a . 3 4) Achar a área entre as curvas y = x3 e y = x. y y = x3 P y= x, x Solução: Primeiro resolva o sistema y = x3 = x6 = x → x(x5 – 1) = 0 → x…

em cada partícula do corpo. Em um corpo rígido, a ação gravitacional pode ser substituída pela ação da sua resultante – o peso P do corpo, aplicada no centro de gravidade do corpo. Esta teoria se aplica a outras forças distribuídas como a ação do vento sobre uma superfície ou a ação da pressão hidrostática sobre superfícies submersas. No caso de um campo gravitacional constante, e a homogeneidade de um corpo, o centroide coincide com o centro de gravidade e o centro de massa. A Integral…

3a − y ) y2 )dy 4a 2a  y2 y3  A = 3ay − −  2 12a    0 1 A = 6 a 2 − 2a 2 − .8 a 3 12a 2 A = 4a2 − a2 3 2 10.a A= u .a . 3 y 2 − 12.a 2 + 4 ay = 0 y 2 + 4 ay − 12a 2 = 0 − 4 a ± 16 a 2 + 48 a 2 2 − 4a ± 8a y= 2  y = 2a   y' = −6 a y= 4) Achar a área entre as curvas y = x3 e y = y = x3 y ∫ ( 3a − y − x. y= P x, x Solução: Primeiro resolva o sistema y = x3 = x6 = x → x(x5 – 1) = 0 x para achar os…

4) Achar a área entre as curvas y = x3 e y = y = x3 y ∫ ( 3a − y − x. y= P x, x Solução: Primeiro resolva o sistema y = x3 = x6 = x → x(x5 – 1) = 0 x para achar os limites de integração. → x=0 e x=1 satisfazem a equação. 1 A= ∫ 0 1 A= ∫ (x 0 x − x 3 dx 1/ 2 ) pode integrar e depois tomar o módulo. − x 3 dx =  2 x  3/ 2 3 − x4   4  1 = 0 8−3 5 2 1 = = 3 4 12 12 132 5) Calcule a área entre os gráficos de y = x + 2 e y = x2. y y=x2 y=x+2 -1 0 x…

conceituação geral, engloba o escalar, o vetor, e outros mais complexos. As grandezas físicas que não são escalares nem vetoriais, em face do que foi dito, recebem o nome de grandezas tensoriais. Elas existem hoje em grande número na Física, não apenas na 6 Mecânica dos Sólidos Deformáveis, onde apareceram pela primeira vez, mas principalmente na Teoria da Relatividade e em outras teorias da Física Moderna. 3) Tração ou Compressão Simples Seja, na figura 1-4, uma barra…

EXERCÍCIOS DE RESISTÊNCIA DOS MATERIAS - II 4 FLEXÃO OBLÍQUA EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 1) Analisar as tensões de cisalhamento numa viga I, carregada com uma força vertical P, no plano da alma, conforme fig. abaixo. Solução Começa-se tomando uma seção transversal intermediária da viga (fig. ao lado) e considerando as tensões no lado direito da mesa superior. A distância s para esta parte será medida a partir de a, onde a tensão de cisalhamento é nula, para a esquerda, até a seção bb. A…

O momento no apoio produz cisalhamento secundário ou torção nas soldas e esta tensão é dada pela equação: ’’ = M.r/J, onde r é a distância do centróide do grupo de soldas ao ponto da solda de interesse e J é o segundo momento polar de inércia do grupo de soldas em relação ao c.g. do grupo. Quando se conhece o tamanho das soldas, estas equações podem ser resolvidas e os resultados combinados para se obter a maior tensão cisalhante. Note que r é usualmente a maior distância do c.g. do…

= lim τ zy = lim ∆A→ 0 ∆Fy ∆A 2 Unidades Força – N Área – m² Tensão – Pa = N/m² MPa = 106 Pa = N/mm² GPa = 109 Pa = 10³ N/mm² Tensão Normal Média Para obter σméd. que atua na área da seção transversal, é necessário estabelecer duas hipóteses simplificadoras: 1) A barra permanece reta e a seção transversal se mantem plana durante a deformação. 3 Tensão Normal Média Para obter σméd. que atua na área da seção transversal, é necessário estabelecer duas…