Áreas Entre Curvas

Áreas Entre Curvas
Considere a região S entre duas curvas y = f(x) e y = g(x) e entre as retas verticais x = a e x = b.
Aqui f e g são funções contínuas e f(x) ≥ g(x) para todo x em [a, b].

Assim como fizemos para áreas sob as curvas, dividimos S em n faixas de larguras iguais e então aproximamos a i-ésima faixa por um retângulo com base ∆x altura

Definição 1
Portanto, definimos a área A da região S como o valor-limite da soma das áreas desses retângulos aproximantes.

Reconhecemos o limite em (1) como a integral definida de f - g.
Definição 2
A área A da região limitada pelas curvas y = f(x), y = g(x), e pelas retas x = a, x = b, onde f e g são contínuas e para todo x em [a, b], é:

Exemplo 1
Encontre a área da região entre as parábolas y = x2 e y = 2x - x2.
Primeiro encontramos os pontos de intersecção das parábolas, resolvendo suas equações simultaneamente.
Isto resulta em x2 = 2x - x2, ou 2x2 - 2x = 0.
Portanto, 2x(x - 1) = 0, assim x = 0 ou 1.
Os pontos de intersecção são (0, 0) e (1, 1).
Vemos na Figura que as fronteiras superior e inferior são: yT = 2x – x2 e yB = x2

Exemplo 2
A área de um retângulo típico é (yT – yB) ∆x = (2x – x2 – x2) ∆x a região está entre x = 0 e x = 1.
Então, a área total é:

Para encontrar a área entre as curvas y = f(x) e y = g(x), onde f(x) ≥ g(x) para alguns valores de x, mas g(x) ≥ f(x) para outros valores de x, dividimos a região S dada em várias regiõesS1, S2, … com áreas A1, A2,...

Então, definimos a área da região S como a soma das áreas das regiões menores S1, S2,… , ou seja, A = A1 + A2 +…
Como
quando quando temos a seguinte expressão para A.

Definição 3
A área entre as curvas y = f(x) e y = g(x) e entre x = a e x = b é:

Quando calculamos a integral em (3), contudo, ainda devemos dividi-la em integrais correspondentes a A1, A2, ….

Exemplo 2
Encontre a área da região limitada pelas curvas y = sen x, y = cos x, x = 0, e x = π/2.
Os pontos de intersecção ocorrem