Álgebra

ATIVIDADE PARA AVALIAÇÃO
ÁLGEBRA LINEAR – CÁLCULO DA INVERSA DE UMA MATRIZ

Matriz Inversa.

Dada uma matriz quadrada A, e se existir outra matriz B da mesma ordem verifique:

A . B = B . A = I onde ( I é a matriz identidade ), dizemos que B é a matriz inversa de A e representamos por A-1.

Algumas propriedades das matrizes inversas:(A−1)−1 = A | | (AB)−1 = B−1 A−1 | | (AT)−1 = (A−1)T | | Nem toda matriz tem uma inversa. Se existir a matriz inversa de A, dizemos que a matriz A é regular ou não singular, caso contrário, dizemos que a matriz A é singular. Quando é que uma matriz A tem inversa?

Uma matriz A de ordem n (n linhas e n colunas) tem a inversa quando seu determinante é diferente de zero ( A≠0 ) ou também quando seu posto é n, ou seja, quando o posto desta matriz coincide com sua ordem. Como podemos calcular a inversa de uma matriz?

Basicamente temos três procedimentos para calcular a inversa de uma matriz. São os seguintes:
1º - Aplicando a definição e resolvendo os sistemas de equações correspondentes (este método é muito trabalhoso quando a ordem da matriz é superior 2x2);
2º - Pelo método de Gauss;
3º - Por determinantes e cofatores.

Cálculo da Matriz Inversa pelo Método de Gauss (escalonamento).

O próximo teorema fornece a melhor forma de "visualizar" uma matriz regular, e o teorema leva imediatamente a um método para se determinar a inversa de uma matriz.

Teorema

Uma matriz Anxn é regular se e somente se, A é linha equivalente a In e, nesse caso, toda seqüência de operações elementares que transforma A em In também transforma In em A-1. Se posicionarmos as matrizes A e I lado a lado, de modo a formar uma matriz completa [ A I ], então as operações elementares nessa matriz produzem operações idênticas em A e I. Pelo Teorema acima, ou existem operações elementares que transformam A em In e In em A-1, ou A não é regular.

Um algoritmo para determinar A-1.

Escalone a