Álgebra Linear

Curso de Tecnologia em Sistemas de Computa¸ca˜o
´
Disciplina : Algebra
Linear - Profs Mauro Rincon & Marcia Fampa
AD2 (Segunda Avalia¸c˜ao a Distˆancia) - Segundo Semestre de 2005
Nome Assinatura -

1. Considere o sistema linear;

2x1





+ x2 x1 − 6x2

−x1 + 2x2



2x1 + 5x2

+ 3x3 − x4 = 1
− x3 − 2x4 = 2
+ x3
= −2
+ 3x3 + x4 = 1

a.(1.0) Resolva-o, se poss´ıvel, m´etodo de Gauss-Jordan.
b.(1.0) Calcule o determinante da matriz dos coeficientes, usando a expans˜ao de Cofatores(F´ormula de Laplace).
2. Considere o sistema linear anterior, excluindo-se a segunda linha e a quarta coluna, ou seja,


 2x1

+ x2 + 3x3 =
1
−x1 + 2x2 + x3 = −2


2x1 + 5x2 + 3x3 =
1
a.(1.0) Determine a matriz inversa de matriz dos coeficientes, usando-a para resolver o sistema linear.
b.(1.0) Resolva o sistema linear pelo m´etodo de elimina¸ca˜o de Gauss com pivoteamento. 1

T : IR2 → IR3

3. (2.0 pt): Seja a aplica¸ca˜o

(x, y) → (x + ky, x + k, y)
Verifique em que caso(s) T ´e linear, justificando a resposta:
a) k = x; b) k = 1; c) k = 0
4. Considere o operador linear T : IR3 → IR3
(x, y, z) → (x − 3y, x − z, z − x)
a.(1.0) Determine o n´ ucleo, uma base para esse subespa¸co e sua dimens˜ao.
T ´e injetora? Justificar
b.(1.0) Determine a imagem, uma base para esse subespa¸co e sua dimens˜ao. T ´e sobrejetora? Justificar
5. (2.0 pt): Calcule os autovalores e os correspondentes autovetores das seguintes matrizes:


A=

1 3
−1 5



3 −1 −3

2 −3 
B= 0

0
0 −1

,

2

Gabarito
´
Algebra
Linear: AD2 - CEDERJ
Mauro Rincon & M´ arcia Fampa - 2005
Tutores: Rodrigo Olimpio e Cristina Lopes
1a Quest˜ao) Solu¸c˜ao:
a) Considere o sistema



2x1 + x2 + 3x3 − x4 = 1






 x1 − 6x2 − x3 − 2x4 = 2

(1)




−x1 + 2x2 + x3
= −2





 2x + 5x + 3x + x = 1
1
2
3
4

a) M´etodo de Gauss-Jordan
O sistema linear acima pode ser representado por: