O movimento harmonico simples

O Movimento Harmônico Simples Seja um corpo se movendo em um espaço linear, dizemos que ele se está em movimento harmônico simples quando sua aceleração é proporcional ao inverso de seu deslocamento. Tal movimento, uma vez fora da posição de equilíbrio, onde ∑▒〖F ⃑=0 ⃑ 〗, tende sempre a retornar a ela. Através de um modelo matemático, podemos descrever a posição do corpo da seguinte maneira X(t)= Xm cos⁡(ωt+ϕ), onde Xm é amplitude do movimento, 𝜔 é a frequência angular e ϕ é o ângulo de fase.
Derivando-se a equação da posição, encontramos a velocidade, V(t)= X^' (t)= -Xm ω sen⁡(ωt+ϕ).
Derivando-se a equação da velocidade, encontramos a aceleração, A(t)= V^' (t)= -Xm ω² cos⁡(ωt+ϕ).
Em um sistema massa-mola, onde um corpo de massa m é preso por uma mola conforme a figura abaixo. Desprezado quaisquer forças dissipativas e considerando a conservação da energia mecânica, a amplitude da oscilação mantém-se constante ao longo do tempo. Analisando-se as forças no sistema, vê-se que as forças peso e normal se cancelam. A única força responsável pelo movimento é a força elástica da mola Fel= -kx, que é proporcional ao inverso do deslocamento, satisfazendo assim a condição para que ocorra um movimento harmônico simples.
De acordo com a segunda lei de Newton (Fel) ⃑=ma ⃑, Fel= -kx=ma, a+ k/m x=0.
Substituindo-se k/m por ω² e a por d²x/dt², d²x/dt²+ ω²x=0.
A solução em x representa a equação da posição de um corpo que oscila em MHS, não somente o sistema massa-mola. No entanto, a igualdade ω=√(k/m)
Para calcular o período das oscilações, isola-se ω ω= √((-a)/x)= √((-(-kx)/m)/x)= √(k/m)
Como ω=2πf e f= 1/T, f=1/2π √(k/m) , T=2π√(m/k).

Energia no Movimento Harmônico Simples

A energia cinética em função do tempo de um corpo em MHS é

K(t)= 1/2 mv²= 1/2 m[-Xm ω sen⁡(ωt+ϕ) ]²= 1/2 m Xm² ω²sen²(ωt+ϕ)=1/2 k Xm²sen²(ωt+ϕ)
A energia potencial é U(t)=1/2 kx²= 1/2 k[Xm