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Geometria Anal´ ıtica e C´lculo Vetorial - Aula 3 a Alex Abreu

Conte´ do u 1 Calculando o ˆngulo entre vetores a 1

2 Revisitando planos e retas

1

´
3 Area de paralelogramos

2

4 Produto vetorial

3

1

Calculando o ˆngulo entre vetores a Como vimos na ultima aula o produto interno entre dois vetores u e v que formam um ˆngulo θ,
´
a foi definido por u, v = |u||v| cos(θ) e conclu´ ımos que se u = (x1 , y1 , z1 ) e v = (x2 , y2 , z2 ) ent˜o vale que a u, v = x1 x2 + y1 y2 + z1 z2 .
Logo, conclu´ ımos que se conhecemos as coordenadas dos vetores u e v, podemos descobrir o angulo
ˆ
entre eles, simplesmente pela f´rmula o cos(θ) =

u, v
,
|u||v|

uma vez que o produto interno e a norma podemos calcular a partir das coordenadas.
Por exemplo, agora temos um crit´rio eficiente pra saber quando dois vetores s˜o ortogonais. e a
Se θ = 90o , ent˜o cos(θ) = 0 e logo u, v = 0. E reciprocamente, se o produto interno ´ 0, ent˜o a e a θ = 90o . Logo, dois vetores s˜o ortogonais se e somente se, seu produto interno ´ 0. a e
Tamb´m decorre da f´rmula pro produto interno (ou da lei dos cossenos) que: e o
|u + v|2 = |u|2 + |v|2 + 2 u, v .

2

Revisitando planos e retas

Seja l uma reta no plano. Fixe dois pontos A e B na reta. Sabemos ent˜o que a reta ´ caracterizada a e por l = {P |∃t ∈ R com P = A + t(B − A)}

P
B
n
A
l

Figura 1: Vetor normal a reta
Seja n um vetor perpendicular ao vetor A − B (ou seja, n ´ perpendicular a reta l), ent˜o sabemos e a que n, A − B = 0 e logo para todo P ∈ l vale n, P = n, A + t n, B − A = n, A .
1

Reciprocamente se vale n, P = n, A ent˜o vale que n, P − A = 0, mas no plano s´ temos uma a o dire¸˜o perpendicular ao vetor n ent˜o P − A e B − A tem a mesma dire¸˜o. Logo P − A = t(B − A) ca a ca para algum t ∈ R e portanto P ∈ l. Logo, podemos escrever l = {P | n, P = n, A }, onde A ´ um ponto qualquer na reta e n ´ um vetor normal a reta. Para