Vetores

Curso de Geometria Analítica
Abrangência: Graduação em Engenharia e Matemática
Professor Responsável: Anastassios H. Kambourakis
Exercícios, Lista 04 - Segmentos Orientados e Vetores .

1. Dados os vetores u e v, determinar e obter graficamente o vetor w tal que:
2 u − 4 w = ½ v − ½ ( w − u ), sendo:

u v e

2u-4w=
4u-8w=1v-1w+1u
2

w
3/7u

-8w+1w=1v+1u-4u
-7w=1v-3u
w=

-1/7v

+

2. Dados os vetores u e v, determinar e obter graficamente o vetor w tal que:
½ u − ¾ w = 3v − 3 ( w − u ), sendo:

u

e

v

=3v-3w+3u
2u-3w=12v-12w+12u
4
-3w+12w=12v+12u-2u
9w=12v+10u w= 4/3v
10/9u

+ w w=

+ u

3. Dados os vetores, conforme a figura, construir o vetor x tal que
(u + v + w ) + x = 0, nos casos abaixo:desenhar a partir do ponto 0.

x=-u-v-w
a)
x u -w

0
-u

v w -v

b) x=-u-v-w v w

u

0
-u
x

-v

-w

c) x=-u-v-w u 0

v
-w

x
-v

-u

w
4. Determinar o vetor (D–A) em função dos vetores (B–A) e (C–A) sendo DC= ¼ de BD.
A

B
D

C

Vamos dar nomes para os vetores:
(B-A)=U
(C-A)=V
(C-B)=W
(D-A)=X
Então vamos determinar o vetor x em função de u e v.
Como DC=1/4 de BD, então BD=4/5 de w e DC=1/5 de w, pois para construir DC,
BD foi dividido por 4 partes, somando todas as partes (C-B) passa a ter 5 partes. x=u+4/5w x=v-1/5w
Somando as duas equações:
2x=u+v+3/5w
como não queremos em função de w vamos substituí-lo pela sua soma de seus vetores. 2x=u+v+3/5(-u+v)
2x=u+v- u+ v
10x=5u+5v-3u+3v
5
10x=2u+8v
x=

ou

(D-A)=

5. Provar vetorialmente que os pontos médios das diagonais de um trapézio, determinam um segmento paralelo às bases e igual a sua semi-diferença. a d

n

x

m

c
Temos que provar que: x=

x=-1/2m-a-1/2n x=1/2m+c+1/2n somando as duas equações:

b

2x=c-a x= 6. Dados os vetores a e b , determinar o vetor x , tal que:
2a – 4x = ½ b – ½ ( x – a ).
2a-4x=1/2b-1/2x+1/2a
4a-8x=1b-1x+1a
2
-8x+x=b+a-4a