vetores

Ângulo entre dois vetores[editar | editar código-fonte]
Observemos o gráfico:

Angle between two vectors.svg

Relação entre o ângulo e o produto escalar de dois vetores

Dados dois vetores \vec{A},\vec{B}, é possível demonstrar que o cosseno do ângulo entre os dois vetores é proporcional ao produto interno (escalar), relacionado-se da seguinte forma:

\vec{A} \cdot \vec{B} = |\vec{A}||\vec{B}| \cos(\theta)

Demonstração:

Observemos o gráfico abaixo:

Calculando o produto escalar

O gráfico mostra dois vetores relacionados pelo ângulo \theta, é importante notar que temos um triângulo, que pode ser generalizado pela lei dos cossenos, o que nos permite fazer a relação entre o ângulo e os dois vetores.

Considerando os vetores na ilustração acima, podemos fazer o cálculo do módulo de sua diferença, utilizando a conhecida relação da lei dos cossenos para o triângulo:

|\vec{v}-\vec{u}|^2 = |\vec{v}|^2 + |\vec{u}|^2 - 2|\vec{v}||\vec{u}| \cos(\theta)

(\vec{v}-\vec{u}) \cdot (\vec{v}-\vec{u}) = |\vec{v}|^2 + |\vec{u}|^2 - 2|\vec{v}||\vec{u}| \cos(\theta)

\vec{v} \cdot \vec{v} - 2 \vec{v} \cdot \vec{u} + \vec{u} \cdot \vec{u} = |\vec{v}|^2 + |\vec{u}|^2 - 2|\vec{v}||\vec{u}| \cos(\theta)

|\vec{v}|^2 + |\vec{u}|^2 - 2 \vec{v} \cdot \vec{u} = |\vec{v}|^2 + |\vec{u}|^2 - 2|\vec{v}||\vec{u}| \cos(\theta)

- 2 \vec{v} \cdot \vec{u} = - 2|\vec{v}||\vec{u}| \cos(\theta)

Portanto:

\vec{v} \cdot \vec{u} = |\vec{v}||\vec{u}| \cos(\theta)

Relação entre produto vetorial e ângulo entre vetores[editar | editar código-fonte]
Seja os vetores \vec{v} e \vec{u} vetores em \R^3, é possível provar que o módulo do vetor resultante do produto vetorial destes, é proporcional ao seno do ângulo \theta entre os dois vetores, relacionado-se da seguinte forma:

|\vec{v} \times \vec{u}| = |\vec{v}||\vec{u}| \operatorname{sen}(\theta) Comprovação: Façamos a operação conforme indicado na definição para verificar a evolução:

\vec{v} \times \vec{u} =