vetores

CÁLCULO DO PRODUTO INTERNO EM FUNÇÃO DAS COORDENADAS DO VETOR

Sejam os vetores u = (a, b) = a i + b j e v = (c, d) = c i + d j

Vamos multiplicar escalarmente os vetores u e v.

u.v = (a i + b j).(c i + d j) = ac i.i + ad i.j + bc j.i + bd j.j

Lembrando que os versores i e j são perpendiculares e considerando-se as conclusões acima, teremos:
i.i = j.j = 1 e i.j = j.i = 0

Daí, fazendo as substituições, vem:
u.v = ac . 1 + ad . 0 + bc . 0 + bd . 1 = ac + bd

Então concluímos que o produto interno de dois vetores, é igual à soma dos produtos das componentes correspondentes ou homônimas.

Unindo a conclusão acima, com a definição inicial de produto interno de vetores, chegamos a uma importante fórmula, a saber:

Sejam os vetores: u = (a,b) e v = (c, d)

Já sabemos que: u.v = u.v.cosb = ac + bd

Logo, o ângulo formado pelos vetores, será tal que:

Onde u e v correspondem aos módulos dos vetores e a, b, c, d são as suas coordenadas.
Portanto, para determinar o ângulo formado por dois vetores, basta dividir o produto interno deles, pelo produto dos seus módulos. Achado o coseno, o ângulo estará determinado.

Veremos um exercício de aplicação, no final deste arquivo.

Vamos demonstrar o teorema de Pitágoras, utilizando o conceito de produto interno de vetores.

Seja o triângulo retângulo da figura abaixo:

É óbvio que: w = u + v

Quadrando escalarmente a igualdade vetorial acima, vem:

w2 = u2 + 2.u.v + v2

Dos itens (b) e (c) acima, concluímos que w2 = w2 , u2 = u2 , v2 = v2 e u.v = 0 (lembre-se que os vetores u e v são perpendiculares).

Assim, substituindo, vem: w2 = u2 + 2.0 + v2 , ou, finalmente: w2 = u2 + v2 (o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos).

Agora, convidamos ao visitante, a deduzir o o teorema dos cossenos, ou seja : em todo triângulo, o quadrado de um lado é igual à soma dos quadrados dos outros dois lados, menos o dobro do produto desses lados pelo cosseno do