vetor

Geometria Anal´ıtica - 08.111-6
Quarta Lista de Exerc´ıcios
Profa. Vera L´ ucia Carbone

17 de mar¸co de 2014

1. Encontre x de modo que u⊥v nos casos em que:
(a) u = (x + 11, 1, 2) e v = (x − 1, −1, −2)
(b) u = (x, −1, 4) e v = (x, −3, 1).
2. Encontre u ortogonal a v = (4, −1, 5) e a w = (1, −2, 3), e que satisfaz u · (1, 1, 1) = −1.
3. Encontre u de norma

√

5, ortogonal a (2, 1, −1), tal que {u, (1, 1, 1), (0, 1, −1)} seja L.D.

4. Calcule 2u + 4v 2 , sabendo que u = 1, (v) = 2, e a medida em radianos do ˆangulo entre u e v ´e 23 π.
5. Ache a proje¸c˜ ao do vetor w sobre v nos casos em que:
(a) w = (1, −1, 2),

v = (3, −1, 1)

(b) w = (−1, 1, 1),

v = (−2, 1, 2)

(c) w = (1, 3, 5),

v = (−3, 1, 0)

6. Prove que se u⊥(v − w) e v⊥(w − u), ent˜ao w⊥(u − v).
7. Mostre que as seguintes igualdades se verificam:
1
(a) u · v = [ u + v 2 − u − v 2 ].
4
(b) u · v = 0 ⇐⇒ u + v = u − v .
8. Prove que
(a) x + y
(b)

x − y

x + y

(Desigualdade Triangular).

x−y .

9. Calcule a ´ area do triˆ angulo ABC obtido pela diagonal do retˆangulo ABCD, sabendo que, relativamente a uma base ortonormal positiva {i, j, k} os lados do retˆangulo s˜ao dados por
−→
−−→
AC = (1, 1, 3) e CB = (−1, 1, 0).
10. Mostre que o produto vetorial n˜ ao ´ e associativo calculando
(j ∧ j) ∧ i e

j ∧ (j ∧ i).

11. A medida em radianos do ˆ angulo entre os vetores u e v ´e
1
3 u∧v e u∧ v .
3
4

π
6.

Sendo u = 1 e v = 7, calcule

−−→
−−→
12. Calcule a ´ area do paralelogramo ABCD, sendo AB = (1, 1, −1) e AD = (2, 1, 4).
13. Ache um vetor unit´ ario ortogonal a u = (1, −3, 1) e v = (−3, 3, 3).
14. Prove que u∧v 2

+ (u · v)2 = u

2

v

2

15. Prove que se u e v s˜ ao linearmente independentes e w∧u=w∧v ent˜ao w = 0.
16. Prove que a altura do

ABC relativa al lado AB mede
−−→ −→
AB ∧ AC h= .
−−→
AB

17. Prove que
(u ∧ v) · (w ∧ t) =

u·w u·t v·w v·t

18. Calcule [u, v, w] sendo u = (−1,