vetor

Revisão sobre Vetores para
Engenharia de Mecatrônica
Professor: Chico Antonio
24/02/2013
Produto Escalar de dois Vetores
O produto escalar de dois vetores e ângulo entre os vetores de modo que
Projeção do vetor

é o escalar
.

, onde

éo

sobre o vetor

A projeção de um vetor em qualquer uma das direções determinadas por , e é simplesmente o vetor formado pela multiplicação da componente de na direção especificada pelo vetor unitário naquela direção; por exemplo, o caso geral da projeção de

Exemplo: Determine a projeção de

sobre o vetor

Solução:

sobre :

.
.

Produto Vetorial
Ao contrário do produto escalar, que tem como resultado um escalar ou um número, o próximo produto especial de dois vetores vetorial. O produto vetorial dos vetores

e

O produto vetorial de dois vetores

e

é outro vetor, sendo chamado de produto

é denotado por e em

é o vetor

é um vetor unitário perpendicular ao plano de vetores de modo que
.
Propriedades do produto vetorial
i)
ii) iii) iv)

e ,e

.
, onde é o ângulo existente entre os

v) vi) , k um escalar

vii) viii) Nota: Dois vetores não zero

e

são paralelos se e somente se

.

Os produtos vetoriais de qualquer par de vetores no conjunto

Dados

, então

podem ser obtidos por,

é dado por:

.
Fazendo as simplificações devidas ficamos com

A expressão no lado direito de

Não é realmente um determinante, pois suas entradas não são todas escalares;

é simplesmente uma forma de lembrar a complicada expressão em

O chamado produto escalar triplo de vetores

e é

Além disso, a partir das propriedades dos determinantes, temos:

.

O produto vetorial triplo de três vetores

e é

A área de um paralelogramo
Dois vetores não zero e não paralelos

e

podem ser considerados como sendo os lados de

um paralelogramo. A área do paralelogramo é
De modo similar, se os vetores do paralelepípedo com arestas

e não se