Variacional

C´lculo Variacional a
Prof. Dr. Ricardo L. Viana Departamento de F´ ısica Universidade Federal do Paran´ a Curitiba - PR 11 de maio de 2011

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Sum´rio a
1 Equa¸˜o de Euler ca 1.1 Uma vari´vel independente e uma dependente . . . . . . . a 1.1.1 Parˆmetro variacional . . . . . . . . . . . . . . . . a 1.1.2 Dedu¸˜o da equa¸˜o de Euler . . . . . . . . . . . . ca ca 1.1.3 Identidade de Beltrami . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Aplica¸˜es da equa¸˜o de Euler . . . . . . . . . . . . . . . co ca 1.2.1 Menor distˆncia entre dois pontos . . . . . . . . . a 1.2.2 Braquist´crona . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 1.2.3 Superf´ ıcies de revolu¸˜o e filmes de sab˜o . . . . . ca a 1.2.4 T´nel em uma esfera . . . . . . . . . . . . . . . . . u 1.3 Uma vari´vel independente e v´rias dependentes . . . . . a a 1.3.1 Equa¸˜es de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . co 1.3.2 Propaga¸˜o da luz e o princ´ ca ıpio de Fermat . . . . . 1.3.3 Princ´ ıpio de Hamilton . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4 Uma vari´vel dependente e v´rias vari´veis independentes a a a 1.4.1 Equa¸˜o de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ca 1.4.2 Equa¸˜o de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . ca 1.5 V´rias vari´veis independentes e dependentes . . . . . . . a a 1.6 Problemas variacionais com v´ ınculos . . . . . . . . . . . . 1.6.1 V´ ınculos e multiplicadores de Lagrange . . . . . . 1.6.2 Exemplos de v´ ınculos . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6.3 Equa¸˜es de Euler com v´ co ınculos . . . . . . . . . . 1.6.4 Problemas mecˆnicos com v´ a ınculos . . . . . . . . . 1.7 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 M´todos variacionais aplicados e 2.1 Revis˜o sobre a equa¸˜o de Sturm-Liouville . . . a ca 2.2 A equa¸˜o de Sturm-Liouville como um problema ca 2.3 Autofun¸˜es de L como fun¸˜es de base . . . . . co co 2.4 O m´todo de Rayleigh-Ritz . . . . . . . . . . . . e 2.4.1 Exemplos de aplica¸˜o do m´todo . . . . ca e 2.5 O m´todo da raz˜o no c´lculo