tutorial geometria analitica

Tutoria de Geometria Anal´ıtica e Sistemas Lineares

1. (a) Escreva equa¸c˜oes param´etricas para a reta r que passa pelo ponto P = (3, −1, 0) paralela ao vetor V = (2, −2, 3).
Solu¸c˜ao:
X = (x, y, z) ∈ r ⇐⇒ P X = tV para algum t ∈ R ⇐⇒ X = P +tV para algum t ∈ R ⇐⇒
(x, y, z) = (3, −1, 0) + t(2, −2, 3) ⇐⇒ (x, y, z) = (3 + 2t, −1 − 2t, 3t) ⇐⇒

 x = 3 + 2t y = −1 − 2t r: t∈R

z = 3t

(b) Encontre os pontos da reta r que distam
Solu¸c˜ao:

√

70 do ponto Q = (6, −2, 3).

X = (x, y, z) ∈ r ⇐⇒ (x, y, z) = (3 + 2t, −1 − 2t, 3t) para algum t ∈ R
Logo:
d(X, Q) =

√

70 ⇐⇒ [6 − (3 + 2t)]2 + [−2 − (−1 − 2t)]2 + [3 − 3t]2 = 70 ⇐⇒ t2 − 2t − 3 = 0 ⇐⇒ t = −1 ou t = 3.

Portanto, os pontos s˜ao: X1 = (1, 1, −3) e X2 = (9, −7, 9).

2. (a) Escreva equa¸c˜oes param´etricas para a reta r que passa pelo ponto P = (1, −2, −1) e ´e perpendicular ao plano π1 : 2x + y − z = 1.
Solu¸c˜ao: Um vetor normal ao plano ´e N = (2, 1, −1). Equa¸c˜oes param´etricas da reta r que passa pelo ponto P com vetor diretor N ´e:

 x = 1 + 2t y = −2 + t r: t∈R

z = −1 − t
(b) Encontre uma equa¸c˜ao geral do plano π que cont´em o ponto P = (2, −1, 3) e ´e paralelo `as retas r1 : (x, y, z) = (1+2t, −2+t, 3) e r2 : (x, y, z) = (−2+t, 4−t, 8−t), t ∈ R.
Solu¸c˜ao:
Dois vetores diretores `as retas r1 e r2 s˜ao, respectivamente, V1 = (2, 1, 0) e V2 =
(1, −1, −1). Os vetores V1 e V2 s˜ao vetores paralelos ao plano π. Logo, um vetor normal a π ´e:
N = V1 × V2 =

i j k
2
1
0
1 −1 −1

= −i + 2j − 3k ⇒ N = (−1, 2, −3)

Agora, equacionamos o plano π: um ponto X = (x, y, z) ∈ π se, e somente se:
P X ⊥ N ⇐⇒ P X · N = 0 ⇐⇒
(x − 2, y − (−1), z − 3) · (−1, 2, −3) = 0 ⇐⇒ −(x − 2) + 2(y + 1) − 3(z − 3) = 0 x − 2y + 3z = 13

3. (a) Escreva equa¸c˜oes param´etricas para a reta r que passa pelos pontos A = (1, 2, 5) e
B = (0, 1, 0).
Solu¸c˜ao:
Um vetor diretor de r ´e: AB = (0 − 1, 1 − 2, 0 − 5) = (−1, −1, −5). Portanto, s˜ao equa¸c˜oes param´etricas