Trapezio

Regra de Trapézios

Exemplo

Calcular ∫01 ex . dx empregando a regra dos trapézios.
Solução: Vamos calcular a integral aproximada pela regra do trapézio com um, dois e quatro intervalos, entre os extremos de integração [0;1]. a) Com um intervalo, n = 1 e, portanto, h = (x = (b - a) / n = (1 - 0)/ 1 = 1. ∫01 ex . dx ( (h/2) [f (0) + f (1)] = (1/2) (e0 + e1) = (1/2) (1 + 2,71828) = 1,85914

b) Com dois intervalos, n = 2 e h = (x = (b - a) / n = (1 - 0) / 2 = 0,5. ∫01 ex . dx ( (h/2) [f (0) + 2f (0,5) + f(1)] = (0,5/2) (e0 + 2e0,5 + e1) = (0,5/2) (1 + 2 . 1,64872 + 2,71828) = 1,75393

c) Com quatro intervalos, n =4 e h= (x = (b - a) / n = (1 - 0) / 4 = 0,25. ∫01 ex . dx ( (h/2) [f(0) + 2f (0,25) + 2f (0,5) + 2f (0,75) + f (1)] = (0,25/2) (e0 + 2e0,25 + 2e0,75 + e1) = (0,25/2) (1 + 2 . 1,28403 + 2 . 1,64872 + 2 . 2, 11700 + 2,71828) = 1,72722

A solução exata vale ∫01 ex . dx = e1 – e0 = 2,71828 – 1 = 1,71828. Calculando o erro para cada valor de integral obtida pela regra dos trapézios, temos: a) n =1, erro | 1,71828 – 1,85914| = 0,14 b) n= 2, erro | 1,71828 – 1,75393| = 0,036 c) n=4, erro | 1,71828 – 1,72722| = 0,0089

Regra de Simpson

Exemplo

Calcular ∫01 ex .dx empregando a regra de Simpson 1/3.
Solução: Vamos calcular a integral aproximada pela regra de Simpson com dois e quatro intervalos, entre os extremos de integração [0;1]. a) Com dois intervalos, n=2 e, portanto, h =(x = (b – a) / n = (1 – 0) / 2 = 0,5 ∫01 ex .dx ( (h/3) [( (o) + 4( (0,5) + ( (1)] = (0,5/3) (e0 + 4e0,5 + e1) = (0,5/3) (1 + 4 . 1,64872 + 2,72828) = 1,71866

b) Com quatro intervalos, n = 4 e h =(x = (b – a) / n = (1 – 0) / 4 = 0,25. ∫01 ex .dx ( (h/3) [( (0) + 2( (0,25) + 4( (0,5) + ( (1)] = (0,25/3) (e0 + 4e0,25 + 2e0,5 + 4e0,75 + e1) = (0,25/3) (1 + 4 . 1,28403 + 2 . 1,64872 + 4 . 2,11700 + 2, 71828) = 1,71832

A solução exata vale ∫01 ex . dx = e1 – e0 =