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AUTOVALORES E AUTOVETORES

É uma transformação especial T : V W.

(I) T(v) = v

Onde,  é o autovalor (escalar) e v é autovetor (se v 0).
Como toda transformação linear pode ser escrita pela multiplicação de uma matriz por um vetor então:

(II) T(v) = Av

Igualando (I) e (II), tem-se:

Av = v ou Av – v = 0 que resulta no sistema homogêneo:

(III) (A – I) v = 0

Onde A é n x n, v = 0 é sempre solução (trivial).

Os vetores v 0 para os quais existe um  que resolve a equação (III) são chamados de autovetores da matriz A e os valores de , que conjuntamente com v resolvem a equação são chamados de autovalores da matriz A associados aos respectivos autovetores. Para que a equação (III) tenha solução além da trivial é necessário que o determinante da matriz dos coeficientes seja zero, ou seja,

det(A – I) = 0

o que resulta em um polinômio de grau n em , conhecido como polinômio característico. As raízes do polinômio característico são os autovalores da matriz A. Para se encontrar os autovetores basta substituir o valor do autovalor na equação original e encontrar o autovetor. O autovalor será, então, associado ao autovetor encontrado. Na verdade, o autovetor encontrado forma uma base para o espaço de solução da equação (III), dado o respectivo autovalor. Logo, qualquer múltiplo do autovetor também é um autovetor. Portanto:

Interpretação geométrica

u é autovetor de T pois   R / T(u) = u. v não é autovetor de T pois não   R / T(v) = v.

Exemplo 1: Considere o operador linear definido no exemplo anterior:

T: R2  R2 (x, y) (4x + 5y, 2x + y)

autovalores de , matriz canônica de T.
Resolvemos a equação característica det (A – I) = 0:

det (A – I) = 0  (4 – ) (1 – ) – 10 = 0  2 – 5 – 6 = 0
 1 = – 1 e 2 = 6.

autovetores de A ou de T:

Para cada autovalor  encontrado, resolvemos o sistema linear (A – I)v = 0:

Então, = (– y, y) sendo um