Transformações lineares no espaço

TRANSFORMAÇÕES LINEARES

I – Introdução:

Definição: Função é uma relação que associa a cada elemento de um conjunto domínio, um único elemento de um conjunto contra-domínio.

Exemplos: - f (x) = |x| : No conjunto dos números inteiros Z, a função f associa cada inteiro x a um único módulo |x| .

- f (x) = 2x2 + 1 : A função f associa a cada real x um único valor 2x2 + 1.

Notação e terminologia:

1. A função f de domínio D e contra-domínio E denota-se f: D ( E

2. Se a função f associa x a y, y chama-se imagem de x e x a pré-imagem de y. Denota-se f: x ( y ou, simplesmente, f (x) = y.

3. O conjunto das imagens chama-se Conjunto Imagem. Denota-se Im(f).

4. Função vetorial: domínio e contra-domínio são espaços vetoriais.

Exemplo: A função f (x, y) = (2x, x – y, x + 2y) associa elementos de R2 aos de R3.

Dessa forma, as funções ou aplicações onde o domínio e o contradomínio são espaços vetoriais são chamados de funções vetoriais ou transformações vetoriais.

Assim, T: V ( W representará uma transformação do espaço vetorial V no espaço vetorial W.

Como T é uma função, cada [pic] ( V tem um só vetor imagem [pic] ( W, tal que T [pic].

Definição: Sejam V e W espaços vetoriais. Uma aplicação T : V(W é chamada linear de V em W se:

a) T(u + v) = T(u) + T(v)
b) T((u) = (T(u) para ( u, v ( V, u e v são vetores (elementos de um espaço vetorial); e ( ( ( R, ( um escalar qualquer

A transformação linear T é uma função vetorial tal que, para todo u, v e (, observa-se as duas condições citadas anteriormente.

T é chamado de operador linear quando V e W tem a mesma dimensão.

Obs:. Usaremos T.L. para nos referimos a uma transformações linear e, não colocaremos a “seta” em [pic] e [pic].

Interpretação geométrica: Uma transformação linear T transforma uma matriz diagonal em uma matriz diagonal. Além disso, uma transformação linear T mantém a proporcionalidade.

- u, v: vetores (elementos de