Transformações lineares planas e rotações no espaço

Atividades de Aprendizagem

2.1 TRANSFORMAÇÕES LINEARES
2.2 NÚCLEO E IMAGEM DE UMA TRANSFORMAÇÃO LINEAR
2.3 MATRIZ DE UMA TRANSFORMAÇÃO LINEAR
2.4 TRANSFORMAÇÕES LINEARES PLANAS

1) Podemos entender transformações lineares como um tipo "apropriado" de funções entre espaços vetoriais, pois, como em um espaço vetorial são definidas duas operações, são de interesse as funções que preservam essas operações. Retome a definição de transformação linear e procure observar nela esse sentido.

Use na resolução dos itens abaixo, a linguagem simbólica da Matemática.

Considere a função f : R2 ® R3, com f (x, y) = (x – y, 2x, y)

1.1) Calcule a imagem, por f, dos vetores u = (– 1, 2) e v = (1, 3) e a soma dessas imagens;

1.2) Calcule a imagem, por f, da soma dos vetores u e v;

1.3) Calcule a imagem, por f, do vetor u multiplicado por 3;

1.4) Multiplique a imagem de u por 3;

1.5) Para os vetores e escalar dados nos exercícios acima, as operações de soma e o produto por escalar são preservadas pela função f ? Por quê?

1.6) O que fizemos acima pode ser aceito com a prova de que f é linear? Se não, faça a prova;

1.7) Escreva o conjunto Dom(f ), domínio de f;

1.8) Escreva o conjunto CDom(f ), contra-domínio de f;

1.9) Qual dos vetores r = (5, 6, – 2) e s = (3, – 4, 6) está no conjunto Im(f ), imagem de f ? Justifique;

1.10) Escreva o vetor que define as imagens, por f, como uma combinação linear de coeficientes x e y;

1.11) Escreva, a partir da combinação linear acima, um conjunto gerador do subespaço Im(f );

1.12) A partir do conjunto gerador da imagem, obtenha uma base para o subespaço Im(f ) e dê a dimensão desse subespaço;

1.13) Escreva o conjunto Im(f );

1.14) Verifique quais dos vetores p = (2, 5) e q = (0, 0) estão no conjunto Nu(f ), núcleo de f;

1.15) Escreva o subespaço Nu(f ), uma de suas bases e a sua dimensão;

1.16) Verifique a propriedade das dimensões: dimNu(f ) + dimIm(f ) = dimDom(f );