Transformada De Laplace Aplica O

Cálculo Avançado A - Equações Diferenciais

CAPÍTULO VI – APLICAÇÕES DA TRANSFORMADA DE
LAPLACE ÀS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
1. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS COM COEFICIENTES
CONSTANTES:
A principal aplicação da transformada de Laplace é a resolução de Equações Diferencias
Ordinárias Lineares com Coeficientes Constantes. Por exemplo, se queremos resolver uma equação diferencial linear de segunda ordem da forma: d2 y d t2

(t) + α

dy
( t ) + β y ( t ) = f (t ) , dt (1.1)

ou, simplesmente,

y′′( t ) + αy′( t ) + βy( t ) = f (t ) ,

(1.2)

sujeita as condições iniciais y(0) = A

(1.3)

e y ′(0) = B ,

(1.4)

onde α , β , A e B são constantes reais dadas. Para resolver este problema, aplicamos a transformada de Laplace, na variável t, nos dois lados da igualdade em (1.1), usando as propriedades da transformada de Laplace da derivada e as condições iniciais (1.3) e (1.4). Com isto, obtemos uma equação algébrica para a determinação de ℒ {y(t )} = Y(s) , ou seja, s 2 Y(s) − sA − B + α(sY(s) − A ) + β Y(s) = F(s) ,

(1.5)

onde ℒ {f (t )} = F(s) é conhecida. Assim,
Y(s) =

sA + B + αA
2

s + αs + β

+

F(s)
2

s + αs + β

.

(1.6)

Então, após obtida a função Y(s), aplicamos a transformada inversa de Laplace na Eq. (1.6), resultando a função incógnita y(t). Procedendo desta forma, obtemos:
1

Cálculo Avançado A - Equações Diferenciais

é sA + B + αA ù é ù
1
y(t) = ℒ −1 ê
⋅ F(s)ú ,
+ ℒ −1 ê ú 2
2
ëê s + αs + β ûú ëê s + αs + β ûú

(1.7)

onde a primeira parcela do lado direito desta equação é a transformada inversa de Laplace de uma função racional (pode ser obtida pelos teoremas de Heaviside ou por completamento de quadrados) e a segunda parcela é resolvida usando-se o teorema da convolução, sendo que a primeira função é a transformada inversa de Laplace de uma função racional e a segunda é a função conhecida f(t) (para maiores informações vide o capítulo 5 deste material). Em outras palavras, é razoavelmente simples calcular a função y(t) em (1.7).
Observação 1: Em