Tabela Laplace

Transformada de Laplace

Transformada de Laplace - Tabela
Observacao
¸˜

Dom´nio do Tempo ı constante

k eat eat × f uncao(t)
¸˜

eat f (t)

n∈N

t

n

p > −1

tp sen(at) cos(at) senh(at) cosh(at) eat sen(bt) eat cos(bt) tn eat

n∈N convolucao ¸˜ d f (t) dt d
F (s) ds t
0

f (t − τ )g(τ )dτ

F´ bio Pereira Benjovengo a ¨e
Dom´nio da Frequˆ ncia ı k s 1 s−a L{f (t)}|s=s−a n! n+1 s Γ(p + 1) sp+1 a s2 + a2 s s2 + a2 a s2 − a2 s 2 − a2 s b
(s − a)2 + b2 s (s − a)2 + b2 n! (s − a)n+1

condicao
¸˜
s>0 s>a dependente de F (s) s>0 s>0 s>0 s>0 s > |a| s > |a| s>a s>a s>a F (s)G(s)

f (n) (t)

sn F (s) − sn−1 f (0) − . . . − f (n−1) (t)

(−t)n f (t)

F (n) (s)

2o. semestre de 2006

1

Transformada de Laplace

1 Defini¸ ao c˜ ´
A transformada de Laplace unilateral de um sinal x(t) e definida como
∞

X(s) = L{x(t)} =

(1)

x(t)e−st dt,
0

sendo que t ∈ R e s ∈ C (s = σ + jω). Existe uma transformada de Laplace bi-lateral obtida substituindo o limite de integracao inferior de (1) por −∞. Por´ m, como estamos interessados em analisar apena sistemas
¸˜
e causais (um sistema e dito causal se sua resposta a entrada do tipo degrau n˜ o come¸ a a ocorrer antes da aplica¸ ao da
´
` a c c˜ entrada), usamos a transformada unilateral.

2 Existˆ ncia da Transformada de Laplace e ´
E poss´vel encontrar a transformada de Laplace de um sinal x(t) sempre que este apresentar ordem exponenı
´
cial. Assim, existe um numero real B < ∞ tal que lim x(t)e−Bt = 0.

t→∞

Como um exemplo, considere o sinal x(t) = Aeαt (observe que este sinal apresenta transformada de
Laplace para qualquer A e α). A transformada de Laplace da funcao exponencial (causal) x(t)
¸˜
x(t) =

Aeαt , para t ≥ 0
,
0, para t < 0

´ e dada por

0

=

e(α−s)t dt =

Aeαt e−st dt = A

x(t)e−st dt =

=

∞

∞

∞

X(s)

0

0

A (α−s)t e α−s

t=∞