NOTAS LAPLACE

Marcio Antonio Jorge da Silva

NOTAS DE AULA:
A Transformada de Laplace

2012

Sum´rio a 1 Introdu¸˜o ca 1.1

2

Biografia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2 A Transformada de Laplace

3
5

2.1

Defini¸˜o e Exemplos Iniciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ca 5

2.2

Transforma¸ao Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c˜ 8

2.3

Mais Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

3 Propriedades da Transformada de Laplace

13

3.1

Propriedades Iniciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3.2

Teoremas de Transla¸˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ca 3.3

O Teorema de Convolu¸˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ca 3.4

A fun¸˜o de Gama . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ca 4 Aplica¸˜es em Equa¸˜es Diferenciais co co

33

4.1

Equa¸˜es Lineares de Segunda Ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 co 4.2

Exerc´ ıcios de Fixa¸˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ca 4.3

Equa¸˜es Lineares de Ordem Superior co . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

5 Mais Aplica¸˜es em Equa¸˜es Diferenciais co co

44

5.1

O sistema massa-mola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

5.2

Fun¸˜es Impulso: O Delta de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 co 5.3

Equa¸˜o Integro-Diferencial de Volterra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 ca 5.4

Exerc´ ıcios de Fixa¸˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 ca 6 Fra¸˜es Parciais: Uma breve revis˜o co a

56

Referˆncias Bibliogr´ficas e a

61

1

Introdu¸˜o ca A transforma¸˜o linear que estudaremos a seguir ´ o operador integral conhecido como ca e

Transformada de