trabalho

Uma integral de superfície é uma integral definida de uma função sobre uma superfície[1] [2] [3] . Aplicações de integrais de superfícies aparecem em vários ramos da ciência e das engenharias. Por exemplo, ao integrarmos uma função densidade de massa sobre uma superfície, obteremos a massa aplicada sobre a superfície[2] . Em uma superfície orientável, a integral de superfície do produto interno de um campo vetorial pelo campo normal à superfície fornece o fluxo desse campo[3] .
Definição[editar | editar código-fonte]
Seja , , uma função definida em todos os pontos de uma superfície . A integral de superfície de sobre é definida por[2] :

onde, é o elemento infinitesimal de área sobre a superfície.
Se é uma superfície orientável, então definimos a integral de superfície de um campo vetorial sobre por[3] :

onde, é o campo normal escolhido na orientação da superfície.
Elemento de área[editar | editar código-fonte]

Elemento de área de uma superfície lisa.
O cálculo do elemento infinitesimal de área sobre a superfície pode ser feito com o auxílio de uma projeção adequada da superfície sobre um plano do espaço cartesiano. Suponhamos que é descrita pela superfície de nível . Consideremos, ainda, um plano dado de normal unitária . A projeção de sobre define uma região planar que denotaremos por .
Com isso, aproximamos um elemento de área da superfície pela área do elemento tangente associado. Este, por sua vez, pode ser calculado em função do elemento de área projetado sobre o plano . Denotando este por , temos[2] :

onde, é o ângulo entre o vetor gradiente e o vetor calculado em algum ponto de .
Asssim, podemos calcular o elemento de área por[2] :

onde, é o ângulo entre o vetor gradiente e o vetor . é o elemento de área planar.
Observamos, ainda, que o ângulo está relacionado ao produto interno entre e por:

Segue, daí, que o elemento de área pode ser calculado por:

Cálculo da integral de superfície[editar | editar código-fonte]
Com base no