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Sistemas Não Lineares - PPGEE - Prof. Alexandre Sanfelice Bazanella. 2013/2
Trabalho 1, aula 1, 5 de agosto de 2013.
Autor: Israel G. de Oliveira
Análise dos espaço de estado de três sistemas não lineares, utilizando o diagrama de fase das variáveis de estado:
1) Pêndulo amortecido.
Modelo utilizado do pêndulo amortecido:

x1 = x2 ˙ x˙2 = −2 sen(x 1) −0,1 x 2
O modelo acima é resolvido analiticamente quando tratamos um pêndulo com oscilações curtas
(variação angular na origem aproximadamente zero), para que o sen(x1) seja aproximado a x1. Então o sistema deixa de ser não linear. Contudo, nosso objetivo é ver o comportamento do pêndulo para oscilações que são muito maiores que a tal aproximação.
Os dados gerados pelo método numérico foi:

Conforme discutido em aula, temos os pontos para os quais o pêndulo tende a parar. Quanto aos pontos nos quais o pêndulo, segundo o modelo tratado, estaria virado para cima, segue com valores inalterados. Com pequenas diferenças, já se observa a convergência para o ponto de equilíbrio estável. 2) Equação de Lotka-Volterra (predador-presa), coeficientes unitários.
O modelo utilizado para uma solução numérica da equação não linear de Lotka-Volterra foi:

x 1 = x 1 −x 1 x 2
˙
x˙2 = −x 2 + x 1 x 2
Um modelo simples que indica que as taxas de variação das espécies depende de suas quantidades.
O produto entre as variáveis nas duas equações torna-a não linear. Aplicando um método numérico para obtenção da evolução das espécies obtemos os seguintes gráficos:

Pode-se observar nas duas simulações a divergência. Outras simulações, as quais não estão nesse relatório, mostram que com o aumento das iterações a forma geométrica apresentada no gráfico aumenta. A divergência é do ponto de coordenadas (1,1) – observa-se no gráfico 2.a. Observa-se também que esse valor de divergência não fora verificado com diferentes constantes para o modelo.
Podendo esse valor ser diferente para diferentes constantes. (O valor