Teste

Nos problemas seguintes, apresenta-se, em cada um deles, um conjunto com as operações de adição e multiplicação por escalar nele definidas. Verificar quais deles são espaços vetoriais. Para aqueles que não são, citar os axiomas que não se verificam.

1. {(x, 2x, 3x); x R }: com as operações usuais u = (x1, 2x1, 3x1), v = (x2, 2x2, 3x2) e w = (x3, 2x3, 3x3),
A1) (u + v) + w = u + (v + w)
[(x1, 2x1, 3x1)+ (x2, 2x2, 3x2)] + (x3, 2x3, 3x3) = (x1, 2x1, 3x1) + [(x2, 2x2, 3x2) + (x3, 2x3, 3x3)]
[(x1+x2, 2x1+2x2, 3x1+3x2)] + (x3, 2x3, 3x3) = (x1, 2x1, 3x1) + [(x2+x3, 2x2+2x3, 3x2+3x3)]
(x1+x2+x3, 2x1+2x2+2x3, 3x1+3x2+3x3) = (x1+x2+x3, 2x1+2x2+2x3, 3x1+3x2+3x3)
(x1+x2+x3, 2(x1+x2+x3), 3(x1+x2+x3)) = (x1+x2+x3, 2(x1+x2+x3), 3(x1+x2+x3))
Este axioma se verifica

A2) u + v = v + u
(x1, 2x1, 3x1)+ (x2, 2x2, 3x2) = (x2, 2x2, 3x2) + (x1, 2x1, 3x1)
(x1+x2, 2x1+2x2, 3x1+3x2) = (x2+x1, 2x2+2x1, 3x2+3x1)
(x1+x2, 2(x1+x2), 3(x1+x2)) = (x2+x1, 2(x2+2x1), 3(x2+x1))
Este axioma se verifica

A3) u + 0 = u
(x1, 2x1, 3x1) + (0,0,0) = (x1, 2x1, 3x1)
(x1, 2x1, 3x1) = (x1, 2x1, 3x1)
Este axioma se verifica

A4) u +(-u) = 0
(x1, 2x1, 3x1) + (-x1, -2x1, -3x1) = (0,0,0)
(0,0,0) = (0,0,0)
Este axioma se verifica

M1) (αβ).u = α(β.u)
(αβ). (x1, 2x1, 3x1) = α(β. (x1, 2x1, 3x1))
(αβ x1, 2 αβ x1, 3 αβ x1) = α(β x1, 2 β x1, 3 β x1)
(αβ x1, 2 αβ x1, 3 αβ x1) = (αβ x1, 2 αβ x1, 3 αβ x1)
Este axioma se verifica

M2) (α + β).u = α.u + β.u
(α + β). (x1, 2x1, 3x1) = α. (x1, 2x1, 3x1) + β. (x1, 2x1, 3x1)
((α + β)x1, (α + β)2x1, (α + β) 3x1) = (α x1, α 2x1, α 3x1) + (β x1, β 2x1, β 3x1)
(α x1+ βx1, α 2x1+ β2x1, α 3x1+ β 3x1) = (α x1+ β x1, α 2x1+ β 2x1, α 3x1+ β 3x1)
Este axioma se verifica

M3) α(u + v) = α.u + α.v α[(x1, 2x1, 3x1) + (x2, 2x2, 3x2)] = α. (x1, 2x1, 3x1) + α. (x2, 2x2, 3x2) α [(x1+x2, 2x1+2x2, 3x1+3x2)] = (α x1, α 2x1, 3 α x1) + (α x2, 2 α x2, 3 α x2) α [(x1+x2, 2(x1+x2), 3(x1+x2))] = (α x1+ α x2, α 2x1+2 α x2, 3 α x1+3 α x2)
(α (x1+x2), 2 α