teoria limite

Estatística I
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TEOREMAS LIMITE

Estatística I
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Sejam as variáveis aleatórias
X1 , X2 , ... , Xn , ..., representativas dos resultados possíveis de observar a partir da realização de uma sucessão de experiências aleatórias idênticas e independentes. 
X1 , X2 , ... , Xn , ..., formam uma sucessão de variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas (i.i.d.).

com a mesma distribuição de probabilidades e
E(Xi)   e Var(Xi)   2, i  1, 2,...,n,....

Estatística I
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Teorema do Limite Central (ou de Lindeberg-Levy) (T.L.C.)
Seja a sucessão de variáveis aleatórias i.i.d., X1 , X2 , ... , Xn , ..., com média  e variância  2 .
Então , quando n  , a função de distribuição da variável aleatória n Zn 

 Xi  n

i 1

 n

tende para a função de distribuição N(0,1) .

Simbolicamente: Z n ~ N(0 , 1)


 n

 n

nota:  X i ~ N n  , n  , E  X i   n  e Var  X i   n 2





 i 1 
 i 1  i 1 n Estatística I
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O T.L.C. dá uma justificação teórica para o facto de utilizar-se, em muitas situações práticas, a distribuição Normal na modelização de fenómenos aleatórios. Um fenómeno aleatório, qualquer que seja o seu modelo probabilístico, pode ser considerado como a soma de um grande número de causas aleatórias independentes(1), sem que uma delas seja dominante, i.e., as médias e as variâncias, respectivas, têm valores próximos(2).

(1) e (2): condições que, em princípio, validam o T.L.C.
Exemplo.
A quantidade total de arroz, em kg, consumida durante um ano num dado restaurante chinês, pode ser vista como a soma das quantidades de arroz consumidas diariamente, sendo as vsas Xi  “quantidade de arroz, em kg, consumida no dia i “, i  1, 2,..., 365 , i.i.d. . ▄

Estatística I
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O valor de n a partir do qual poderá considerar-se que se obtém uma boa aproximação à Distribuição Normal é dependente da distribuição das vsas Xi , i  1, 2, ..., n, ...