sistemas lineares

Nesta seção serão utilizadas as técnicas fornecidas nas seções anteriores para lidar com problemas matemáticos como a resolução sistemas lineares, manipulação de polinômios, interpolação de dados, zeros de funções e otimização.

SISTEMAS LINEARES
Um dos problemas mais comuns da álgebra linear é resolução de um sistema de equações lineares, , como dado a seguir:

Para encontrar a solução deste sistema, diversos métodos de solução podem ser empregados como: Gauss-Seidel, Gauss-Jacobi, eliminação de Gauss, fatoração LU, fatoração QR, ou mesmo empregar a “força bruta” e encontrar .

Usando o método menos indicado, ou seja, calcular usando , fornece:

>> A = [3 4 2; 1 6 4; 1 4 7]
A = 3 4 2 1 6 4 1 4 7

>> b = 31*ones(3,1) b = 31 31 31

>> x = inv(A)*b x = 5.00000000000000 3.00000000000000 2.00000000000000

Neste caso, inv(A) é uma função que calcula e o operador de multiplicação * fornece a multiplicação usual de matrizes.

Uma outra forma de resolução, mais recomendada, é utilizar o operador matricial de divisão à esquerda “\”:

>> x = A\b

x = 5 3 2

Nesse caso, o MATLAB utiliza a fatoração LU para resolver o sistema. O operador de divisão à esquerda, “\”, não é precedido por um ponto, pois a operação é matricial e não apenas entre os elementos com os mesmo índices de dois vetores. Há diversas razões pelas quais essa segunda maneira de resolver um sistema linear é a mais indicada. A primeira é que este método requer menos operações de ponto flutuante e, portanto, é mais rápida. E a segunda é que para problemas grandes a solução será mais precisa.Em qualquer um dos dois casos, se o MATLAB não conseguir achar uma solução, uma mensagem de erro será mostrada.

Alternativamente, o comando lu poderia ser usado:

>> format rat
>> [L,U]=lu(A)

L = 1 0 0 1/3 1 0 1/3 4/7