sistemas amortecidos

1. Oscilações Amortecidas
Em qualquer movimento real, há dissipação de energia devido à existência das forças de atrito. No caso de oscilador ou pêndulo, deixados isolados, por um tempo, os mesmos deixarão de oscilar.
Quando a energia mecânica de um movimento harmônico diminui com o tempo, chamamos este de Movimento Amortecido.
Se as forças de atrito ou de amortecimento forem pequenas, o movimento é aproximadamente periódico, com diferença que sua amplitude se reduz com o tempo.

Figura 1. Oscilador massa-mola amortecimento ideal. A pá imersa no líquido exerce uma força de amortecimento no sistema a cada ciclo de oscilação.
Supondo que o líquido (Figura 1) exerça uma força de amortecimento que é proporcional em magnitude à velocidade do anteparo (pá) e do conjunto anteparo + bloco (rigidamente conectados), e então,

Onde b é uma constante de amortecimento que depende das características do anteparo e do líquido. O sinal de negativo indica que a força se opõe ao movimento. Logo, a resultante das forças sobre o objeto de massa m é:

Temos da Segunda Lei de Newton:

Sendo,

Teremos,

Lembrando que Oscilações Harmônicas Simples

Substituindo esta equação na equação anterior, obtemos a forma geral da equação diferencial que descreve o movimento do oscilador amortecido:

Sendo sua solução do tipo:

Onde A e α são parâmetros a serem determinados. Fazendo tal substituição na solução na equação (3) teremos:

Ou seja,

Se , o termo entre parêntesis deverá ser zero. Portanto:

A expressão acima é a uma equação quadrática. Logo, podemos resolvê-la através da fórmula de Baskhara.
Seja uma equação quadrática do tipo Que tem como solução,

Portanto nossa equação fica:

Dividindo o termo da raiz por 4, obtemos:

Logo concluímos que se b = 0, haverá ausência de amortecimento.
A partir da dependência do valor dos termos dentro da raiz, abordaremos dois casos particulares de amortecimento: Movimento Sub-Amortecido e o Movimento